அடுக்குத் தொடர் (கணிதம்)

கணிதத்தில் அடுக்குத் தொடர் (power series) என்பது கீழ்க்காணும் வடிவில் அமையும் முடிவிலாத் தொடர் ஆகும்:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}$$+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots$

இத் தொடர் ஒரு மாறியிலமைந்த அடுக்குத் தொடர்.

இதில்:

a_n n ஆம் உறுப்பின் கெழு;

c ஒரு மாறிலி;

x ஆனது c இன் மதிப்பைச் சுற்றி மாறுபடும். பொதுவாக, ஒரு சார்பின் டெய்லர் தொடராகவே ஒரு அடுக்குத் தொடர் அமையும்.

பெரும்பாலான சமயங்களில் c இன் மதிப்பு பூச்சியமாக அமையும். அப்போது அடுக்குத் தொடரின் வடிவம்:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .$

எடுத்துக்காட்டுகள்

அடுக்குக்குறிச் சார்பும் (நீலம்) அதன் மெக்லாரின் தொடரின் முதல் n+1 உறுப்புகளின் கூடுதலும் (சிவப்பு).

• எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் ஒரு மையம் c உடன் அடுக்குத் தொடராக எளிதாக எழுத முடியும்.

$f(x)=x^{2}+2x+3$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை மையம் $c=0$ எனக் கொண்டு பின்வரும் அடுக்குத் தொடராக எழுதலாம்:

$f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,$

அல்லது மையத்தை $c=1$ எனக்கொண்டால்:

$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}$$+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,$

• பெருக்குத் தொடரின் வடிவம்:

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$, இவ் வாய்ப்பாடு $|x|<1$ எனும் மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உண்மையாகும்.

• அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,$

சைன் சார்பின் தொடர்:

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,$ இத் தொடர் x இன் அமைத்து மெய்மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும்.

அடுக்குத் தொடரில் எதிர் எண்கள் மாறியின் அடுக்குகளாக இருக்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக பின்வருவது அடுக்குத் தொடராகாது:

$1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots$

இதேபோல $x^{1/2}$ போன்ற பின்ன அடுக்குகளும் இருக்காது. மேலும் கெழுக்கள் மாறி $x$ ஐச் சார்ந்தவையாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக கீழே தரப்படுவது அடுக்குத் தொடர் அல்ல:

$\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,$

கணிதச் செயல்கள்

கூட்டலும் கழித்தலும்

f , g ஆகிய இரு சார்புகள் c எனும் ஒரே மையத்தைக் கொண்டு அடுக்குத் தொடர்களாக எழுதப்பட்டால், அவற்றின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலை உறுப்புவாரிக் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலாகச் செய்யலாம்.

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$

$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}$ எனில்:

$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.$

பெருக்கலும் வகுத்தலும்

$f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)$

$=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.$

${f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}$

$f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)$

வகையிடலும் தொகையிடலும்

அடுக்குத் தொடராக எழுதப்படும் சார்பின் வகைக்கெழு மற்றும் தொகையீடு

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}$

$\int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.$

மேற்கோள்கள்

• Solomentsev, E.D. (2001), "Power series", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1556080104

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Formal Power Series", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Power Series", MathWorld.
• Complex Power Series Module by John H. Mathews
• Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.