டெய்லர் தொடரின் கருத்துரு ஸ்காட்லாந்து கணிதவியலாளர் ஜேம்ஸ் கிரகரி யால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு, 1715 இல் ஆங்கில கணிதவியலாளர் புரூக் டெய்லரால் முறையாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. டெய்லர் தொடர் பூச்சியத்தில் மையப்படுத்தப்படும்போது அது மெக்லாரின் தொடர் (Maclaurin series ) என அழைக்கப்படுகிறது. 18 ஆம் நூற்றாண்டில் இந்த டெய்லர் தொடரின் சிறப்பு வகையைப் பெரிதும் பயன்படுத்திய ஸ்காட்லாந்து கணிதவியலாளர் காலின் மெக்லாரின் நினைவாக இப்பெயர் இடப்பட்டது.
ƒ (x ) சார்பின் டெய்லர் தொடர் (a புள்ளியில்) :
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
″
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
f
(
3
)
(
a
)
3
!
(
x
−
a
)
3
+
⋯
.
{\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}
ƒ (x ) சார்பின் மெக்லாரின் தொடர் (பூச்சியத்தில்):
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
1
!
x
+
f
″
(
0
)
2
!
x
2
+
f
(
3
)
(
0
)
3
!
x
3
+
⋯
.
{\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .}
ƒ (x ) என்பது ஒரு மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் மதிப்புச் சார்பு. a என்ற புள்ளியில் இச் சார்பு முடிவுறா தடவைகள் தொடர்ந்து வகையிடக் கூடியது எனில், இச் சார்பின் டெய்லர் தொடர் கீழ்க்கண்ட அடுக்குத் தொடராக அமையும்:
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
″
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
f
(
3
)
(
a
)
3
!
(
x
−
a
)
3
+
⋯
.
{\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}
இத் தொடரில் * a = 0
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
1
!
x
+
f
″
(
0
)
2
!
x
2
+
f
(
3
)
(
0
)
3
!
x
3
+
⋯
.
{\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .}
n ! - n இன் தொடர் பெருக்கம் .ƒ (n ) (0 ) - 0 இல், சார்பு ƒ இன் n ஆம் வகைக்கெழு.ƒ இன் பூச்சிய வரிசை வகைக்கெழு ƒ மற்றும் (x − a )0 =1, 0! = 1.
வழக்கமான சார்புகள் சிலவற்றின் மெக்லாரின் தொடர்கள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன இத் தொடர்கள் அனைத்தும் x இன் சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும்:[ 1]
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
∀
x
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \quad \forall x\!}
log
(
1
−
x
)
=
−
∑
n
=
1
∞
x
n
n
,
∀
|
x
|
<
1
{\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}},\quad \forall |x|<1}
log
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
x
n
n
,
∀
|
x
|
<
1
{\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}},\quad \forall |x|<1}
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\quad \ |x|<1\!}
(
1
+
x
)
α
=
∑
n
=
0
∞
(
α
n
)
x
n
|
x
|
<
1
,
அனைத்து சிக்கலெண்
α
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad |x|<1,{\text{ அனைத்து சிக்கலெண் }}\alpha \!}
(
1
+
x
)
0.5
=
1
+
1
2
x
−
1
8
x
2
+
1
16
x
3
−
5
128
x
4
+
7
256
x
5
−
⋯
{\displaystyle (1+x)^{0.5}=\textstyle 1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots }
(
1
+
x
)
−
0.5
=
1
−
1
2
x
+
3
8
x
2
−
5
16
x
3
+
35
128
x
4
−
63
256
x
5
+
⋯
{\displaystyle (1+x)^{-0.5}=\textstyle 1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots }
(
α
n
)
=
∏
k
=
1
n
α
−
k
+
1
k
=
α
(
α
−
1
)
⋯
(
α
−
n
+
1
)
n
!
{\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}}
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
⋯
∀
x
{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \quad \forall x\!}
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
⋯
∀
x
{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \quad \forall x\!}
tan
x
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
(
−
4
)
n
(
1
−
4
n
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
x
+
x
3
3
+
2
x
5
15
+
⋯
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots \quad |x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
sec
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
arcsin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad |x|\leq 1\!}
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad |x|\leq 1\!}
arctan
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
x
2
n
+
1
|
x
|
≤
1
,
x
≠
±
i
{\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad |x|\leq 1,x\not =\pm i\!}
sinh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
⋯
∀
x
{\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \quad \forall x\!}
cosh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
⋯
∀
x
{\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \quad \forall x\!}
tanh
x
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
4
n
(
4
n
−
1
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
x
−
1
3
x
3
+
2
15
x
5
−
17
315
x
7
+
⋯
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots \quad |x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
a
r
c
s
i
n
h
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \mathrm {arcsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad |x|\leq 1\!}
a
r
c
t
a
n
h
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
2
n
+
1
|
x
|
≤
1
,
x
≠
±
1
{\displaystyle \mathrm {arctanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\quad |x|\leq 1,x\not =\pm 1\!}
tan(x ) மற்றும் tanh(x ) இன் தொடர்களிலுள்ள எண்கள் B k பெர்னொலி எண்கள் ஆகும். sec(x ) தொடரிலுள்ள E k ஆய்லர் எண்கள் .
