அடுக்கு கணம்

கணிதத்தில், ஒரு கணத்தின் அனைத்து உட்கணங்களையும் கொண்ட கணமானது, (வெற்றுக்கணத்தையும் அதே கணத்தையும் சேர்த்து) அக்கணத்தின் அடுக்கு கணம் (Power set) என அழைக்கப்படுகிறது. கணம் $S$ ன் அடுக்கு கணத்தினை ${\mathcal {P}}(S)$ , P(S), ℘(S) என்ற குறியீடுகளால் குறிக்கலாம். அடிக்கோள் கணக்கோட்பாட்டில், அடுக்கு கணம் என்ற கருத்தானது, அடுக்கு கண அடிக்கோளின் மூலமாக கூறப்பட்டுள்ளது. ${\mathcal {P}}(S)$ ன் எந்தவொரு உட்கணம் $F$ ம், $S$ ன் மீதான கணங்களின் குடும்பம் என அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

வெற்றுக்கணம் ( $\varnothing$ ) இன் உட்கணம் வெற்றுக் கணம் மட்டுமே.

எனவே வெற்றுக்கணத்தின் அடுக்கு கணம்:

{\mathcal {P}}(\varnothing

) =

\left\{\{\}\right\}\,\!.

இதன் முதலெண் = 1.

இதனை $|{\mathcal {P}}(\varnothing )|=2^{0}$ என எழுதலாம்.

ஓருறுப்பு கணம் $A$ = {1} இன் இரு உட்கணங்கள்,

\{{\text{ }}\}

\{{\text{1}}\}

எனவே $A$ ன் அடுக்கு கணம்:

{\mathcal {P}}(A

)= {

\{{\text{ }}\}

,

\{{\text{1}}\}

}

இதன் முதலெண் = 2.

இதனை $|{\mathcal {P}}(A)|=2^{1}$ என எழுதலாம்.

ஈருறுப்புக் கணம், $B$ = { 1, 2 } இன் உட்கணங்கள்,

\{{\text{1}}\},

\{{\text{2}}\},

\{{\text{1, 2}}\}

எனவே Bன் அடுக்கு கணம்:

{\mathcal {P}}(B

) = {

\{{\text{ }}\}

,

\{{\text{1}}\}

,

\{{\text{2}}\}

,

\{{\text{1, 2}}\}

}

இதன் முதலெண் = 4.

இதனை $|{\mathcal {P}}(B)|=2^{2}$ என எழுதலாம்

மூவுறுப்புக் கணம், $C$ = {x, y, z} இன் உட்கணங்கள்.
$\{{\text{ }}\}$ அல்லது $\varnothing$ ,
$\{{\text{x}}\}$
$\{{\text{y}}\}$
$\{{\text{z}}\}$
$\{{\text{x, y}}\}$
$\{{\text{x, z}}\}$
$\{{\text{y, z}}\}$
$\{{\text{x, y, z}}\}$

எனவே $C$ ன் அடுக்கு கணம்:

{\mathcal {P}}(C

) =

\left\{\{\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\right\}\,\!.

^[1]

இதன் முதலெண் = 8.

இதனை

|{\mathcal {P}}(C)|=2^{3}

என எழுதலாம்.

பண்புகள்

உதாரணமாக இயல் எண் கணம் ஒரு $S$ கணத்தின் எண் அளவை | $S$ | = n எனில், அடுக்கு கணத்தின் எண் அளவை, $|{\mathcal {P}}(S)|=2^{n}$ ஆகும்.^[2]
முடிவுறு அல்லது முடிவுறா கணங்களின் எண்ணளவைகளை விட அவற்றின் அடுக்கு கணங்களின் எண்ணளவைகள் கண்டிப்பாக அதிகமானவையாக இருக்கும். எண்ணுறு முடிவிலா கணங்களின் அடுக்கு கணங்கள் எண்ணுறா முடிவிலா கணங்களாக அமையும்.எண்ணுறு முடிவிலா கணம். அதன் அடுக்கு கணத்தின் உறுப்புகளுக்கும் எண்ணுறா முடிவிலா கணமான மெய் எண் கணத்திற்கும் இடையே ஒன்றுக்கு- ஒன்று தொடர்பினைக் காண முடியும். எனவே இயலெண் கணத்தின் அடுக்கு கணம் ஒரு எண்ணுறா முடிவிலி கணமாகும்.
$S$ ன் அடுக்கு கணத்தை, ஒன்றிப்பு, வெட்டு, நிரப்பி, ஆகிய செயல்களோடு சேர்த்து பூலிய இயற்கணிதத்திற்கு ஒரு முன்னுதாரணமாகக் கொள்ளலாம். எந்தவொரு முடிவுறு பூலிய இயற்கணிதத்தையும் ஒரு முடிவுறு கணத்தின் அடுக்கு கண பூலியன் இயற்கணிதத்துக்கு சம அமைவியம் (isomorphic) உள்ளதாகக் காணலாம். ஆனால் முடிவுறா பூலிய இயற்கணிதத்திற்கு இது உண்மையாகாது. முடிவுறா பூலிய இயற்கணிதத்தை அடுக்கு கண பூலிய இயற்கணிதத்தின்கீழ் அமையும் ஒரு பகுதியாகக் கருதலாம்.
$S$ ன் அடுக்கு கணமானது சமச்சீர் வேறுபாடு (symmetric difference) செயலியைப் பொறுத்து, வெற்றுக்கணத்தை முற்றொருமை உறுப்பாகவும் ஒவ்வொரு கணமும் தனக்குத்தானே நேர்மாறு உறுப்பாகவும் கொண்ட ஒரு ஏபெல் குலமாகவும் வெட்டுச் செயலியைப் பொறுத்து, பரிமாற்று ஒற்றைக்குலமாகவும் அமையும். மேலும் பங்கீட்டு விதிகளையும் நிரூபித்து, அடுக்குக்கணமானது இந்த இரு செயல்களைப் பொறுத்து ஒரு பரிமாற்று வளையமாகும் எனக் காட்டலாம்.

ஈருறுப்புத் தேற்றத்துடன் தொடர்பு

அடுக்கு கணம், ஈருறுப்புத் தேற்றத்துடன் நெருங்கிய தொடர்புடையது. n உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின் அடுக்கு கணத்தில் k உறுப்புகளைக் கொண்ட உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை $C(n,k),$ சேர்வாக அமையும். $C(n,k)$ என்பது ஈருறுப்புக் குணகம் அல்லது ஈருறுப்புக் கெழு என்றழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின் அடுக்கு கணத்தில்

$C(3,0)=1$ கணம் 0 உறுப்புகளுடனும்
$C(3,1)=3$ கணங்கள் 1 உறுப்புடனும்
$C(3,2)=3$ கணங்கள் 2 உறுப்புகளுடனும்
$C(3,3)=1$ கணம் 3 உறுப்புகளுடனும் இருக்கும்.

எல்லைக்குட்பட்ட எண்ணளவை கொண்ட உட்கணங்கள்

k ஐ விடக் குறைந்த எண்ணளவை உடைய $S$ ன் உட்கணங்கள் ${\mathcal {P}}_{\kappa }(S)$ அல்லது ${\mathcal {P}}_{<\kappa }(S)\,.$ என்றும், வெற்றுக்கணத்தைத் தவிர ஏனைய உட்கணங்கள் ${\mathcal {P}}_{\geq 1}(S)\,.$ என்றும் குறிக்கப்படுகின்றன.

குறிப்புகள்

↑ Puntambekar (2007), வார்ப்புரு:Google books quote
↑ One can—and for small values of n, computer programmers sometimes do—represent the elements of ${\mathcal {P}}(S)$ as n-bit numbers; the mth bit refers to the presence or absence of the mth element of S in some ordering chosen by the programmer. There are 2ⁿ such numbers.

மேற்கோள்கள்

Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.
Puntambekar, A.A. (2007). Theory Of Automata And Formal Languages. Technical Publications. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-81-8431-193-8.

வெளியிணைப்புகள்

Weisstein, Eric W., "Power Set", MathWorld.
Power set பிளாநெட்மேத்தில்
வார்ப்புரு:Nlab
வார்ப்புரு:Nlab

[1] Puntambekar (2007), வார்ப்புரு:Google books quote

[computer_footnote-2] One can—and for small values of n, computer programmers sometimes do—represent the elements of ${\mathcal {P}}(S)$ as n-bit numbers; the mth bit refers to the presence or absence of the mth element of S in some ordering chosen by the programmer. There are 2ⁿ such numbers.

[1]

[2]