அணிகளில் இயற்கணித அமைப்புகள்

கணிதத்தில் அணிகளில் பலவித இயற்கணித அமைப்புகள் ஏற்பட வாய்ப்புகள் உண்டு. பற்பல விதமான அணிகள் வெவ்வேறு கணித அமைப்புகளாக அமையும்.

எண்களைக்கொண்ட எல்லா$m\times n$ அணிகளும்

மெய்யெண் களை உறுப்புகளாகக்கொண்ட எல்லா$m\times n$ அணிகளையும் ஒரு ${{\mathcal {M}}_{m\times n}}^{\mathbf {R} }$ என்ற ஒரு கணமாகக்கொள்வோம். அணிக்கூட்டல் செயலுக்கு இது ஒரு குலம் ஆகும். இதனில் சூனிய உறுப்பு எல்லா உறுப்புகளூம் சூனியமாகக்கொண்ட சூனிய அணி. கூட்டல்செயல் உறுப்புகள் வாரியாகச் செய்யப்படும் கூட்டல். ஒவ்வொரு அணிக்கும் அதன் எதிர்மாறு அணி உறுப்புவாரியாக எதிர்மாறு உறுப்புகளைக்கொண்டது.

மற்றும் இக்கணத்திற்கு அளவெண் பெருக்கல் என்ற செயல்முறையும் உண்டு. கூட்டலுக்கும் அளவெண் பெருக்கலுக்கும் ${{\mathcal {M}}_{m\times n}}^{\mathbf {R} }$ ஒரு (மெய்யெண்) திசையன் வெளி ஆகிறது.

இத்திசையன் வெளியின் பரிமாணம் $m\times n$. இதன் அடுக்களம்(basis):

${\begin{pmatrix}1&0&\dots &0\\0&0&\dots &0\\\dots &\dots &\dots &\dots \\0&0&\dots &0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}0&1&\dots &0\\0&0&\dots &0\\\dots &\dots &\dots &\dots \\0&0&\dots &0\end{pmatrix}}$, .................. , ${\begin{pmatrix}0&0&\dots &0\\0&0&\dots &0\\\dots &\dots &\dots &\dots \\0&0&\dots &1\end{pmatrix}}$

முதலிய mn அணிகள்.

மெய்யெண்களின் இடத்தில் சிக்கலெண்களைப் பயன்படுத்தினால் இது (சிக்கலெண்) திசையெண் வெளி யாகும். இதற்குக் குறியீடு ${{\mathcal {M}}_{m\times n}}^{\mathbf {C} }$. இதற்கு அளவெண்களை சிக்கலெண்களாகக்கொண்டால் இதன் பரிமாணம் mn ஆகவும், மெய்யெண்களாகக் கொண்டால் பரிமாணம் 2mn ஆகவும் இருக்கும்.

$\mathbf {R}$, $\mathbf {C}$க்கு பதில் ஏதாவதொரு களம் $\mathbf {F}$ ஐப்பயன்படுத்தலாம்.

இவைகளுக்கு மாற்றுக்குறியீடுகள்: ${\mathcal {M}}({m\times n},\mathbf {R} )$, ${\mathcal {M}}({m\times n},\mathbf {C} )$, ${\mathcal {M}}({m\times n},\mathbf {F} )$.

எண்களைக்கொண்ட எல்லா சதுர அணிகளும்

${{\mathcal {M}}_{n\times n}}^{\mathbf {R} }$ அல்லது, ${{\mathcal {M}}({n\times n}},\mathbf {R} )$ . இதுவும் ஒரு திசையன் வெளி. இது ${{\mathcal {M}}({m\times n}},\mathbf {R} )$ இன் உள் வெளி.

${{\mathcal {M}}({n\times n}},\mathbf {R} )$ இல் அணிப்பெருக்கல் என்ற ஒரு பெருக்கல் செயல்முறையும் உள்ளது. அப்பெருக்கலுக்கு அது ஒரு வளையமாகவே ஆகிறது. இவ்வளையத்துக்கு அலகு அணி தான் முற்றொருமை. ஆனால் இவ்வளையம் களமாக முடியாது. ஏனென்றால் நேர்மாறு இல்லாத அணிகள் உள்ளன. எ.கா. ${\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}$.

மற்றும், அதே காரணத்தினால் ${{\mathcal {M}}({n\times n}},\mathbf {R} )$ பெருக்கலுக்கு ஒரு குலமாக முடியாது.

நேர்மாறு உள்ள சதுர அணிகள்

${M}({n\times n},\mathbf {R} )$ இல், நேர்மாறு உள்ள அணிகளை (இவைகளை வழுவிலா அணி கள் என்றும் சொல்லலாம்) மாத்திரம் எடுத்துக்கொண்டால், அவை பெருக்கலுக்கு ஒரு குலமாகும். இக்குலம் உயர் கணிதத்தில் ஒரு முக்கிய இடம் வகிக்கிறது. இதற்கு பொது நேரியற்குலம் என்று பெயர். குறியீடு GL(n,$\mathbf {R}$) அல்லது GL_n ($\mathbf {R}$) (General Linear Group over R).

$\mathbf {R}$ க்கு பதில் $\mathbf {C}$ ஐப் பயன்படுத்தினால், GL(n,$\mathbf {C}$) அல்லது GL_n ($\mathbf {C}$) (General Linear Group over C) என்பதும் ஒரு முக்கிய குலமாகும்.

செங்குத்து அணிகளும் அலகுநிலை அணிகளும்

மெய்யெண்களைக்கொண்ட ஒரு சதுர அணி M கீழுள்ள பண்பைக் கொண்டிருக்குமானால் அது செங்குத்து அணி எனப்படும்:

$M^{T}=M^{-1}$ .

எ.கா.: ${\begin{pmatrix}cos\theta &sin\theta \\-sin\theta &cos\theta \end{pmatrix}}$

${n\times n}$ செங்குத்து அணிகளெல்லாம் அணிப்பெருக்கலுக்கு ஒரு குலமாகும். இக்குலத்திற்கு n-கிரமச்செங்குத்துக்குலம் என்று பெயர். இதற்குக் குறியீடு O(n).

சிக்கலெண்களைக்கொண்ட ஒரு சதுர அணி U கீழுள்ள பண்பைக்கொண்டிருக்குமானால் அது அலகுநிலை அணி எனப்படும்:

${{U}*}^{T}=U^{-1}$. இங்கு ${U}*$ என்பது U வின் இணையிய அணி(Conjugate matrix). $U*^{T}$ என்பது U வின் இடமாற்று இணையிய அணி.

எ.கா.: ${\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}&i/{\sqrt {2}}\\i/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$

${n\times n}$ அலகுநிலை அணிகளெல்லாம் அணிப்பெருக்கலுக்கு ஒரு குலமாகும். இக்குலத்திற்கு n-வரிசை அலகுநிலைக்குலம் என்று பெயர். இதற்குக் குறீயீடு: U(n).

கலைச்சொற்கள்

இக்கட்டுரையில் பயன்படுத்தப்பட்ட கலைச்சொற்கள் கீழ்வருமாறு:

Basis அடுக்களம்

Complex number சிக்கலெண்

Conjugate matrix இணையியஅணி

Dimension பரிமாணம்

Field களம்

Group குலம்

Identity முற்றொருமை, ஒற்றொருமை

Inverse நேர்மாறு

Invertible matrix நேர்மாறு உள்ள அணி

Linear நேரியல்

Negative எதிர்மாறு

Orthogonal Group செங்குத்துக்குலம்

Orthogonal matrix செங்குத்து அணி

Real number மெய்யெண்

Ring வளையம்

Scalar multiplication அளவெண் பெருக்கல்

Square matrix சதுர அணி

Subgroup உட்குலம்

Subspace உள்வெளி

Transposed Conjugate Matrix இடமாற்று இணையிய அணி

Unitary matrix அலகுநிலை அணி

Unitary Group அலகுநிலைக்குலம்

Vector Space திசையன் வெளி

Zero element சூனிய உறுப்பு

Zero matrix சூனிய அணி