செங்குத்து அணி

கணிதத்தில் எண்களை அணியாய் வகுத்து அவ்வணிகளை எண்களைப்போல் இயற்கணிதத்துக் உட்படுத்தலாம் என்ற கருத்து 19வது நூற்றாண்டிலிருந்து செயல்படத் துவங்கியது. அணிக் கோட்பாடு என்ற இன்றைய கணிதப்பிரிவு கணிதத்தின் எல்லாப் பயன்பாடுகளிலும் பயன்படும் ஒரு சாதனம். அணிக்கோட்பாட்டில் பற்பல சிறப்பு வாய்ந்த அணிவகைகள் பேசப்படுகின்றன. அவைகளில் ஒன்றுதான் செங்குத்து அணி (Orthogonal Matrix).

இடமாற்று அணி

ஒரு சதுர அணி A இன் வரிசைகளையும் நிரல்களையும் ஒன்றுக்கொன்று பரிமாறுவோமானால் கிடைக்கும் அணி இடமாற்று அணி, அணித்திருப்பம், இடம் மாற்றிய அணி, திருப்பிய அணி எனப் பலவிதமாகவும் சொல்லப்படும். அதை A^T என்ற குறியீட்டால் குறிப்பர். இதை

A^T = ($a_{i,j}$)^T = ($a_{j,i}$) என்றும் எழுதலாம்.

செங்குத்து அணியின் வரையறை

மெய்யெண்களைக்கொண்ட ஒரு சதுர அணி M கீழுள்ள பண்பைக் கொண்டிருக்குமானால் அது செங்குத்து அணி எனப்படும்:

$M^{T}=M^{-1}$ .

இங்கு $M^{-1}$ என்பது M இன் நேர்மாற்று அணி. இதையே

$MM^{T}=I=M^{T}M$ என்றும் எழுதலாம். இங்கு $I$ என்பது முற்றொருமை அணி.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• ${\begin{pmatrix}cos\theta &sin\theta \\-sin\theta &cos\theta \end{pmatrix}}$

• ${\frac {1}{\surd {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}$

• ${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

• ${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}}$

குறிப்பு1 : செங்குத்து அணிகளெல்லாம் நேர்மாறு உள்ள அணிகள். அதாவது, அவை வழுவிலா அணிகள்.

குறிப்பு2 : மெய்யெண்களுக்குப் பதிலாக சிக்கலெண்களைக் கொண்ட சதுர அணிகளில் செங்குத்து அணிகளை ஒத்த (சிறிது மாறான) பண்பைப் பெற்றிருப்பவைகளை அலகு நிலை அணி (Unitary Matrix) என்பர்.

முக்கிய பண்புகள்

• முற்றொருமை அணி ஒரு செங்குத்து அணி. செங்குத்து அணியின் நேர்மாறு அணியும் செங்குத்து அணி. இதனால் $n\times n$ செங்குத்து அணிகளெல்லாம் அணிப்பெருக்கலுக்கு ஒரு குலமாகும். இக்குலத்திற்கு n-கிரமச்செங்குத்துக் குலம் என்று பெயர். இதற்குக் குறியீடு $O_{n}(\mathbf {R} ).$
• ஒரு செங்குத்து அணியின் அணிக்கோவை (Determinant)= +1 அல்லது -1.
• ஒரு $n\times n$ செங்குத்து அணியின் நிரல்கள் (வரிசைகள்) $\mathbf {R} _{n}$ க்கு ஒரு செங்குத்தலகு அடுக்களமாகும் (Orthonormal basis). அதாவது, ஒவ்வொரு நிரல் திசையனுக்கும் நீளம் 1; நிரல் திசையன்கள் நேரியல்சார்பற்றவைமட்டுமல்ல; அவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்துத் திசையன்கள், அதாவது ஒவ்வொரு ஜோடி நிரல்களின் புள்ளிப்பெருக்கல் சூனியம்.
• $n\times n$ செங்குத்து அணி $M$ ஆல் வரையறுக்கப்படும் நேரியல் கோப்பு உட்பெருக்குகளைக் காக்கும். அதாவது, ஒவ்வொரு ஜோடி $n$-திசையன்கள் $u,v$ க்கும் $(u,v)=(Mu,Mv)$. மற்றும், உட்பெருக்குகளைக் காக்கும் அணிகள் இவைகளே.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• அணிகளில் இயற்கணித அமைப்புகள்