இடமாற்று அணி
நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஓர் அணியின் இடமாற்று அல்லது இடமாற்று அணி அல்லது நிரை-நிரல் மாற்று அணி (transpose) என்பது மூல அணியின் நிரைகளை நிரல்களாகவும் நிரல்களை நிரைகளாகவும் இடம் மாற்றுவதால் பெறப்படும் அணியாகும். A என்ற அணியின் இடமாற்று அணியின் குறியீடு: AT ஆகும். இடமாற்று அணி A′, Atr, tA At எனவும் குறிக்கப்படுகிறது. பின்வரும் செயல்களில் ஏதேனுமொன்றின் மூலம் இடமாற்று அணியைப் பெறலாம்:
- A அணியை அதன் முதன்மை மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து எதிரொளித்தல்
- A இன் நிரைகளை நிரல்களாக எழுதுதல்
- A இன் நிரல்களை நிரைகளாக எழுதுதல்
இடமாற்று அணி AT இன் i ஆவது நிரையிலும் j ஆவது நிரலிலுமுள்ள உறுப்பானது, மூல அணியான A இன் j ஆவது நிரையிலும் i ஆவது நிரலிலுமுள்ள உறுப்பாக இருக்கும்:
A இன் வரிசை m × n எனில், AT இன் வரிசை n × m ஆகும்.
1858 இல் பிரித்தனிய கணிதவியலாளர் ஆர்தர் கெய்லி, இடமாற்று அணியை அறிமுகப்படுத்தினார்.[1]
எடுத்துக்காட்டுகள்
தொகுபண்புகள்
தொகுA, B இரு அணிகள்; c ஒரு திசையிலி எனில், இடமாற்று அணி பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:
-
- இடமாற்று காணும் செயல் ஒரு சுருள்வு ஆகும். அதாவது தன்-நேர்மாறு ஆகும்.
-
- இப்பண்பில் அணிகளின் இடங்கள் திருப்பியமைவதைக் காணலாம். எனவே AT நேர்மாற்றத்தகதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, சதுர அணி A நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்கும்.
- (A−1)T = (AT)−1. :(A1A2...Ak−1Ak)T = AkTAk−1T...A2TA1T.
-
- ஒரு சதுர அணி மற்றும் அதன் இடமாற்று அணி இரண்டின் அணிக்கோவைகளும் சமம்.
- a , b என்பன இரு நிரல் திசையன்கள் எனில், அவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கல் a இன் இடமாற்று அணி, b அணி இரண்டின் பெருக்கலுக்குச் சமமாகும்.
-
- நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் இடமாற்றும் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்கும். மேலும் இடமாற்று அணியின் நேர்மாறு மூல அணியின் நேர்மாறின் இடமாற்று அணியாக இருக்கும். A−T குறியீடும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
- ஒரு சமச்சீர் அணியாகும்.[2]
சிறப்பு வகைகள்
தொகு- ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணி மூல அணியாகவே இருக்குமானால் அச்சதுர அணி சமச்சீர் அணி எனப்படும்.
- A ஒரு சமச்சீர் அணி எனில்:
- ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணி மூல அணியின் எதிர் அணியாக இருக்குமானால் அச்சதுர அணி எதிர் சமச்சீர் அணி எனப்படும்.
- A ஒரு எதிர் சமச்சீர் அணி எனில்:
- சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியின் உறுப்புகள், மூலஅணியின் ஒத்த உறுப்புகளின் இணைச் சிக்கலெண்களாக இருந்தால் அம்மூலச் சதுர அணியானது ஹெர்மைட் அணி எனப்படும்.
- A ஒரு ஹெர்மைட் அணி எனில்:
- சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியின் உறுப்புகள், ஒத்த மூலஅணியின் ஒத்த உறுப்புகளின் எதிர் இணைச் சிக்கலெண்களாக இருந்தால் அம்மூலச் சதுர அணியானது எதிர் ஹெர்மைட் அணி எனப்படும்.
- A ஒரு எதிர் ஹெர்மைட் அணி எனில்:
- ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியானது மூல அணியின் நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த மூலச் சதுர அணி செங்குத்து அணி ஆகும்.
- A செங்குத்து அணி எனில்:
- சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியானது மூல அணியின் இணை நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த மூலச் சதுர அணி அலகுநிலை அணி ஆகும்.
- A அலகுநிலை அணி எனில்:
மேற்கோள்கள்
தொகு- ↑ Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148 : 17-37. The transpose (or "transposition") is defined on page 31.
- ↑ "Is a matrix multiplied with its transpose something special?" Proof in answer on StackExchange.com,
மேலதிக வாசிப்புக்கு
தொகு- Maruskin, Jared M. (2012). Essential Linear Algebra. San José: Solar Crest. pp. 122–132. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-9850627-3-6.
- Schwartz, Jacob T. (2001). Introduction to Matrices and Vectors. Mineola: Dover. pp. 126–132. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-42000-0.
வெளியிணைப்புகள்
தொகு- MIT Linear Algebra Lecture on Matrix Transposes பரணிடப்பட்டது 2010-03-29 at the வந்தவழி இயந்திரம்
- Transpose, mathworld.wolfram.com
- Transpose பரணிடப்பட்டது 2016-03-08 at the வந்தவழி இயந்திரம், planetmath.org
- Khan Academy introduction to matrix transposes பரணிடப்பட்டது 2010-03-25 at the வந்தவழி இயந்திரம்