ஹெர்மைட் அணி

ஹெர்மைட் என்ற பிரான்ஸ் நாட்டு கணித இயலரால் 19ம் நூற்றாண்டில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு 20ம் நூற்றாண்டில் வெகுமையாக கணிதத்திலும் இயற்பியலிலும் பயன்படுத்தப்பட்டு வரும் ஒருவகை அணி ஹெர்மைட் அணி எனப்படும்.

வரையறை

ஒரு அணி A யில் வரிசைகளை நிரல்களாக்கி, நிரல்களை வரிசையாக்கும் செய்முறை, அதாவது வரிசை i, நிரல் j யிலுள்ள உறுப்பை வரிசை j நிரல் i யிலுள்ள உறுப்புடன் பரிமாறிக்கொள்ளும் செய்முறை உறுப்புக்களின் இடமாற்றல் (Transposition) எனப் பெயர்பெறும். சிக்கலெண்களாலான ஒரு அணி A யின் உறுப்புக்களை இடமாற்றுதல் செய்து கிடைக்கும் அணிக்கு இடமாற்று அணி என்று பெயர். அதை A^T என்று குறிப்பிடுவது வழக்கம். A யின் உறுப்புக்களெல்லாவற்றையும் இணைச் சிக்கலெண்களாக்கிக் கிடைக்கும் அணிக்கு இணை அணி (Conjugate matrix) என்று பெயர். இதை A* என்று குறிப்பிடுவதுண்டு. இடமாற்றுதலும் செய்து இணை அணியாக்குதலும் செய்தால் கிடைக்கும் அணிக்கு இடமாற்று இணை அணி (Transposed conjugate) என்று பெயர். இதை (A*)^T என்றோ அல்லது (A^T)* என்றோ குறிப்பிடலாம். இப்பொழுது,

(A*)^T = A என்ற பண்பு இருக்குமானால், A க்கு ஹெர்மைட் அணி என்று பெயர்.

சுருங்கச்சொன்னால், ஒரு ஹெர்மைட் அணி A = (a_ij) யின் இலக்கணம்: ஒவ்வொரு i, j க்கும், (a_ij)* = a_ji .

எடுத்துக்காட்டாக, 1. ${\begin{pmatrix}-2&3+2i&27\\3-2i&3&1-i\\27&1+i&0\end{pmatrix}}$

ஒரு ஹெர்மைட் அணி.

ஹெர்மைட் அணியின் பண்புகள்

1. ஹெர்மைட் அணி ஒவ்வொன்றிலும் முதன்மை மூலைவிட்டத்திலுள்ள உறுப்புகளனைத்தும் உள்ளக எண்களாகத்தான் இருக்க முடியும்.

2. ஒரு அணியின் எல்லா உறுப்புக்களும் உள்ளக எண்களாக இருந்தால், அது சமச்சீர் அணி யாயிருந்தால், இருந்தால்தான், அது ஹெர்மைட் அணியாகும்.

3. இரண்டு ஹெர்மைட் அணிகளைக்கூட்டி வரும் அணியும் ஹெர்மைட் அணியே.

4. ஒரு ஹெர்மைட் அணியின் நேர்மாறு அணியும் (அது இருக்குமானல்) ஒரு ஹெர்மைட் அணி.

5. இரு ஹெர்மைட் அணிகள் A , B யின் பெருக்கல், அவைகள் ஒன்றுக்கொன்று பரிமாறிக்கொள்ளும் (commuting matrices) அணிகளாயிருந்தாலொழிய ஹெர்மைட் அணியாக இருக்காது. அதாவது, AB = BA ஆக இருந்தால்தான் AB ஹெர்மைட் அணியாக இருக்கும்.

6. ஒரு ஹெர்மைட் அணியின் ஐகென் மதிப்புகள் எல்லாம் உள்ளக எண்களாக இருக்கும்.

7. எந்த சதுர அணியையும் அதனுடைய இடமாற்றுத்துணை அணியையும் கூட்டினால், கிடைக்கும் அணி ஹெர்மைட் அணியாக இருக்கும்.

ஹெர்மைட் அணியின் பண்பியக்கங்கள்

சார்புப் பகுவியலில், ஹெர்மைட் அணி ஹெர்மைட் உருமாற்றம் என்ற வேடத்தைத் தாங்குகிறது. இவ்வுருமாற்றங்கள் தான் குவாண்டம் நிலையியக்கவியலில் (Quantum Mechanics) நோக்கத்தகு கணியங்களாகப் (Observable) பேசப்படுகின்றன.

வெளியிணைப்புகள்

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Hermitian matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1556080104
• Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo பரணிடப்பட்டது 2007-09-24 at the வந்தவழி இயந்திரம், by Chao-Kuei Hung from Shu-Te University, gives a more geometric explanation.
• "Hermitian Matrices". MathPages.com.