செங்குத்துக் குலம்

கணிதத்தில் செங்குத்துக் குலம் (orthogonal group) என்பது ஒரு நிலைப்புள்ளியை மாற்றாமல் பாதுகாக்கும், தூரம்-காக்கும் உருமாற்றங்களின் குலமாகும். உருமாற்றங்களின் தொகுப்பு இக்குலத்தின் ஈருறுப்புச் செயலியாக அமைகிறது. n பரிமாண யூக்ளிடிய வெளியில் ஒரு நிலைப்புள்ளியை மாற்றாமல் காக்கும், தூரம்-காக்கும் உருமாற்றங்களின் (சமஅளவை உருமாற்றங்கள்) குலம், n பரிமாண செங்குத்துக் குலம்; இதன் குறியீடு O(n).

மேலும் இக்குலம் n×n செங்குத்து அணிகளின் குலமாக உள்ளது. இதன் செயலி ”அணிப்பெருக்கல்” ஆகும். ஒரு செங்குத்து அணியின் அணிக்கோவையின் மதிப்பு 1 அல்லது −1 ஆகும். அணிக்கோவையின் மதிப்பை 1 ஆகக் கொண்டுள்ள செங்குத்து அணிகளின் குலம் சிறப்பு செங்குத்து குலம் என அழைக்கப்படுகிறது. இதன் குறியீடு SO(n). O(n) இன் உட்குலமாக SO(n) அமையும்.,

செங்குத்து குலத்திலுள்ள உருமாற்றங்கள் இரு பரிமாணத்தில் ஒரு புள்ளியைப் பொறுத்த சுழற்சியாகவும், முப்பரிமாணத்தில் ஒரு கோட்டைப் பொறுத்த சுழற்சியாகவும் இருப்பதால் செங்குத்துக் குலமானது சுழற்சி குலம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது,

ஒற்றை, இரட்டைப் பரிமாணம்

ஒற்றை, இரட்டைப் பரிமாண செங்குத்துக் குலங்களின் அமைப்பு அப்பரிமாணங்களின் தன்மையைக் குறித்து சிலவகைகளில் மாறுபடும். எடுத்துக்காட்டாக, R-மெய்யெண் களத்தில் நிகழும் ஆதியைப் பொறுத்த எதிரொளிப்பு, இரட்டைப் பரிமாணங்களில் திசைப்போக்கைப் பாதுகாப்பதாகவும், ஒற்றைப் பரிமாணங்களில் எதிராக்குவதாகவும் உள்ளது. இந்த வேறுபாட்டை வலியுறுத்துவதற்காகச் செங்குத்து குலங்கள் O(2k), O(2k + 1) (n = 2k or n = 2k + 1) எனக் குறிக்கப்படுகின்றன.

வடிவவியல் விளக்கம்

Rⁿ இன் சமவளவை உருமாற்றங்களை உறுப்புகளாக் கொண்டது யூக்ளிடிய குலம் E(n). செங்குத்துக் குலம் O(n, R), யூக்ளிடிய குலத்தின் உட்குலமாக இருக்கும். யூக்ளிடிய குலத்திலுள்ள உருமாற்றங்களில், ஆதியை மாற்றாமல் நிலையானதாகக் கொண்ட உருமாற்றங்களாலானது செங்குத்துக் குலம்.

O(n, R) = E(n) ∩ GL(n, R).

மையத்தை ஆதியாக எடுத்துக்கொண்டால், கோளம் (n = 3) அல்லது (n − 1)-கோளம் மற்றும் கோள சமச்சீர் கொண்ட அனைத்துப் பொருட்களின் சமச்சீர் குலமாக செங்குத்துக் குலம் இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

• Weisstein, Eric W. "Rotation Group." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/RotationGroup.html