அரைமுப்படிப் பரவளைவு

கணிதத்தில், அரைமுப்படிப் பரவளைவு , அரைக்கனவடிவப் பரவளைவு அல்லது நுதிக்குரிய கனவடிவடிம் (semicubical parabola, cuspidal cubic) என்பது உள்ளுறைச் சமன்பாடுடையதொரு இயற்கணிதத் தள வளைவரையாகும். அதன் உள்ளுறைச் சமன்பாடு காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமைகளில்: $y^{2}-a^{2}x^{3}=0$ (a ≠ 0).

a இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு அரைமுப்படிப் பரவளைவு.

y -க்குத் தீர்வு காண, அதன் "வெளிப்படை வடிவச் சமன்பாடு" கிடைக்கிறது.

$y=\pm ax^{\frac {3}{2}},$. இதிலிருந்து ஒவ்வொரு மெய்யெண் புள்ளியும்

x ≥ 0 என்பதை நிறைவுசெய்யும் என்பதையும், சமன்பாட்டிலுள்ள x இன் அடுக்கானது இவ்வளைகோட்டிற்கான பெயரிலுள்ள "அரைமுப்படி" என்பதற்கானக் காரணத்தையும் அறியலாம்.(பரவளைவின் சமன்பாடு: y = ax².)

உள்ளுறைச் சமன்பாட்டை x -க்குத் தீர்வு காண இரண்டாவதாக ஒரு வெளிப்படைச் சமன்பாடு கிடைக்கிறது:

$x=\left({\frac {y}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}.$

${\textstyle t={\frac {y}{ax}}.}$ என உள்ளுறை சமன்பாட்டில் பதிலிடுவதன் மூலம் அரைமுப்படிப் பரவளைவிற்குப் பின்வரும் துணையலகுச் சமன்பாட்டையும் பெறலாம்:

$\quad x=t^{2},\quad y=at^{3}$

ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் வில்லியம் நெயில் என்பவர் இவ்வளைகோட்டின் வில்லின் நீளத்தைக் கணக்கிட்டு, 1657 இல் வெளியிட்டார்.

பண்புகள்

வடிவொப்புமை

$(t^{2},at^{3})$ -துணையலகு உருவகிப்பைக் கொண்ட எந்தவொரு அரைமுப்படிப் பரவளைவும் $(u^{2},u^{3})$. என்ற அரைமுப்படி அலகு பரவளவுடன் வடிவொத்ததாக இருக்கும்.

நிறுவல்: $(x,y)\rightarrow (a^{2}x,a^{2}y)$ என வரையறுக்கப்பட்ட வடிவொப்புமையானது (சீரான அளவுமாற்றம், $(t^{2},at^{3})$ என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவை முழுவதுமாக $((at)^{2},(at)^{3})=(u^{2},u^{3})$ ($u=at$.) என்ற வளைவரையோடு இணைக்கிறது.

தொடுகோடுகள்

$y=\pm x^{3/2}$ என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவின் கார்ட்டீசியன் சமன்பாட்டை வளைவரையின் மேற்கிளையிலுள்ள புள்ளி $(x_{0},y_{0})$ இல் வகையிட, அப்புள்ளியிலமையும் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு கிடைக்கும்:

$y={\frac {\sqrt {x_{0}}}{2}}\left(3x-x_{0}\right).$

இத்தொடுகோடு வளைவரையின் கீழ்க்கிளையைப் பின்வரும் ஒரேயொரு புள்ளியில் சந்திக்கும்:

$\left({\frac {x_{0}}{4}},-{\frac {y_{0}}{8}}\right).$

வில்லின்நீளம்

$(x(t),y(t))$ என்ற வளைவரையின் வில்லின் நீளத்தைப் பின்வரும் தொகையிடல் மூலம் காணலாம்:

${\textstyle \int {\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\;dt.}$

அரைமுப்படிப் பரவளைவு $(t^{2},at^{3}),\;0\leq t\leq b,$ இன் வில்லின் நீளம்:

$\int _{0}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\;dt=\int _{0}^{b}t{\sqrt {4+9a^{2}t^{2}}}\;dt=\cdots =\left[{\frac {1}{27a^{2}}}\left(4+9a^{2}t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}\right]_{0}^{b}\;.$

( $u=4+9a^{2}t^{2}$ என்ற பதிலீட்டு முறையில் இத்தொகையீடு கணக்கிடப்படுகிறது.)

எடுத்துக்காட்டு: a = 1 (அரைமுப்படி அலகு பரவளைவு) மற்றும் b = 2 எனில், பரவளைவின் மீதுஅமையும் (0, 0), (4,8) ஆகிய இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் வில்லின் நீளம் 9.073 ஆகக் கிடைக்கும்.

மலரி

$(t^{2},t)$ என்ற பரவளைவின் மலரியானது மூலப் பரவலைவிலிருந்து x-அச்சு திசையில் 1/2 அளவு நகர்த்தப்பட்ட அரைமுப்படிப் பரவளைவாகும்:

${\textstyle \left({\frac {1}{2}}+t^{2},{\frac {4}{{\sqrt {3}}^{3}}}t^{3}\right).}$

கோண-தூர ஆயதொலைவுகள்

$(t^{2},at^{3})$ என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவின் உருவகிப்பைப் கோணதூர ஆயதொலைவுகளில் காண்பதற்கு, $y=mx$ என்ற கோடானது அரைமுப்படிப் பரவளைவை வெட்டும் புள்ளியைக் காண வேண்டும். இவை இரண்டும் வெட்டும் புள்ளிகள்:

$m\neq 0$ எனில், $(0,0)$ மற்றும் ${\textstyle \left({\frac {m^{2}}{a^{2}}},{\frac {m^{3}}{a^{2}}}\right).}$

இவ்விரண்டிற்கும் இடைப்பட்ட தூரம்: ${\textstyle {\frac {m^{2}}{a^{2}}}{\sqrt {1+m^{2}}}}$

$m=\tan \varphi ,$ $\sec ^{2}\varphi =1+\tan ^{2}\varphi$ என்ற பதிலிடலை மேற்கொள்ளக் கிடைப்பது:

$r=\left({\frac {\tan \varphi }{a}}\right)^{2}\sec \varphi \;,\quad -{\frac {\pi }{2}}<\varphi <{\frac {\pi }{2}}.$

இதுவே அரைமுப்படிப் பரவளைவின் கோணதூர ஆயதொலைவுகள்.

மேற்கோள்கள்

• August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten , 1875, Dissertation
• Clifford A. Pickover: The Length of Neile's Semicubical Parabola

வெளியிணைப்புகள்

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Neile's Semi-cubical Parabola", MacTutor History of Mathematics archive, புனித ஆண்ட்ரூசு பல்கலைக்கழகம்.