மலரி (கணிதம்)

வளைவரையின் வகையீட்டு வடிவவியலில் ஒரு வளைகோட்டின் மலரி அல்லது அலர் வளைவரை (evolute) என்பது அவ் வளைகோட்டின் வளைவு மையங்களின் இயங்குவரையாக அமையும் வளைகோடாகும். அதாவது, அவ்வளைகோட்டின் மீதுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியின் ஒட்டு வட்டங்களின் மையங்களை இணைக்கும் வளைகோடு அவ்வளைகோட்டின் மலரி என அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு வட்டத்தின் மலரி அதன் மையமாகவே, அதவாது ஒற்றைப் புள்ளியாக இருக்கும். மேலும், ஒரு வளைகோட்டின் மலரியானது அவ்வளைகோட்டின் செங்கோடுகளின் சூழ்வாக இருக்கும்.

ஒரு வளைகோட்டின் வளைவு மையங்களின் இயங்குவரையாக (சிவப்பு) அமையும் அவ் வளைகோட்டின் மலரி (நீலப் பரவளைவு).

வளைகோட்டின் (இங்கு நீள்வட்டம்) செங்கோடுகளின் சூழ்வாக அமையும் அதன் மலரி.

வரலாறு

கணிதவியலாளர் அப்போலோனியஸ் (சுமாராக: கிமு 200), அவரது "கூம்புவெட்டிகள்" (Conics) -இன் புத்தகம் 5 இல் மலரி பற்றிய கருத்துக்களைப் பதிவு செய்திருக்கிறார். எனினும் கணிதவியலாளர் ஐகன்சு தான் முதன்முதலில் (1673) மலரியைக் குறித்து ஆய்வு செய்தவராகக் கருதப்படுகிறார். ஐகன்சு, சமகால ஊசலின் கட்டமைப்புக்கு உதவிய சமகால வளைகோட்டைக் கண்டறியும்போது மலரி கோட்பாட்டை முறைப்படுத்தினார். சமகால வளைகோடும் அதன் மலரியும் வட்டப்புள்ளியுருவாக இருப்பது அவ்வளைகோட்டின் சிறப்பம்சமாகும். பிற்காலத்தில் நுண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்திய பல முடிவுகளை ஐகன்சு காண்பதற்கு மலரிக் கோட்பாடு உதவியது.

சமன்பாடு

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட சமதளத்திலமைந்த ஒரு ஒழுங்கு வளைகோட்டின் (எந்த வகைக்கெழுவும் பூச்சியமாக இல்லாத வளைகோடு) துணையலகுச் சமன்பாடு:

${\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}];$ இதன் வளைவு எங்கும் பூச்சியமற்றது; வளைவு ஆரம் $\rho (t);$ அலகு செங்கோடு ${\vec {n}}(t)$ (வளைவு மையத்தை தோக்கும் திசையில்) எனில் அவ்வளைகோட்டின் மலரி பின்வருமாறு தரப்படுகிறது:

$${\vec {E}}(t)={\vec {c}}(t)+\rho (t){\vec {n}}(t)$$

${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{\mathsf {T}}$ மற்றும் ${\vec {E}}=(X,Y)^{\mathsf {T}}$ எனில்:

$$X(t)=x(t)-{\frac {y'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}$$

$$Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}.$$

பண்புகள்

P இல் அமையும் செங்கோடு, வளைவு மையத்திலமையும் (C) தொடுகோடாக இருக்கும்.

${\textstyle \left|{\vec {c}}'\right|=1}$ மற்றும் ${\textstyle {\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho }$ என்பதால், மலரியின் பண்புகளைக் காண்பதற்கு வளைகோட்டின் சமன்பாட்டை அதன் வில்லின் நீளத்தைத் ($s$) துணையலகாகக் கொண்ட சமன்பாடுகளாக எடுத்துக்கொள்வது நல்லது. மலரியின் தொடுகோட்டுத் திசையன் ${\textstyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}}$ பின்வருமாறு அமையும்: $${\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\ .$$

இச்சமன்பாட்டிலிருந்து மலரியின் பின்வரும் பண்புகள் கிடைக்கின்றன:

• $\rho '=0$ என்றுள்ள புள்ளிகளின் மலரியாகவுள்ள வளைகோடு ஒழுங்கு வளைகோடாக இருக்காது. அதாவது, வளைவு பெருமம் அல்லது சிறுமமாகவுள்ள புள்ளிகளில் (வளைகோட்டின் உச்சிகள்) மலரி கூர்முனைகளைக் கொண்டிருக்கும் (எ.கா:பரவளைவு, நீள்வட்டம், வட்டப்புள்ளியுரு ஆகியவற்றின் மலரிகள்).
• ஒரு மலரியின் கூர்முனையை உள்ளடக்காத அதன் ஏதாவதொரு வில்லின் நீளமானது அவ் வில்லின் முனைப்புள்ளிகளுக்குரிய வளைவு ஆரங்களின் வித்தியாசத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்.
• வளைகோட்டின் மீது, பூச்சியமற்ற வளைவுடைய புள்ளிகளிலமையும் செங்கோடுகள் அவ் வளைகோட்டிற்குத் தொடுகோடுகளாகவும், பூச்சிய வளைவுடைய புள்ளிகளிலமையும் செங்கோடுகள் மலரியின் அணுகு தொடுகோடுகளாகவும் இருக்கும். எனவே, வளைகோட்டின் செங்கோடுகளின் சூழ்வாக அதன் மலரி இருக்கும்.
• வளைகோட்டில் $\rho '>0$ மற்றும் $\rho '<0$ எனவுள்ள பகுதிகளில் வளைகோடானது அதன் மலரியின் கூம்பியாக இருக்கும் (படம்: சிவப்பு அரைமுப்படிப் பரவளைவின் கூம்பியாக நீலப் பரவளைவு உள்ளது; நீலப் பரவளைவின் மலரி சிவப்பு அரைமுப்படிப் பரவளைவு)
• இணையான வளைகோடுகள் ஒரே மலரியைக் கொண்டிருக்கும்

நிறுவல்:

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வளைகோட்டிலிருந்து $d$ தொலைவில் அமைந்த இணை வளைகோட்டிற்கு,

துணையலகு உருவகிப்பு: ${\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}$

வளைவு ஆரம்: $\rho _{d}=\rho -d$.

எனவே இணை வளைகோட்டின் மலரி: $${\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.$$

அதாவது இணை வளைகோடுகளின் மலரிகள் ஒரே வளைகோடாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

பரவளைவின் மலரி

$(t,t^{2})$ என்ற துணையலகு உருவகிப்பால் தரப்படும் பரவளைவின் மலரியின் சமன்பாடுகள்:

$$X=\cdots =-4t^{3}$$

$$Y=\cdots ={\frac {1}{2}}+3t^{2}\,,$$

இச்சமன்பாடுகள் ஒரு அரைமுப்படிப் பரவளைவைத் தரும்.

நீள்வட்டத்தின் மலரி

நீள்வட்டத்தின் மலரி (சிவப்பு)

$(a\cos t,b\sin t)$ என்ற துணையலகு உருவகிப்பு கொண்ட நீள்வட்டத்தின் மலரியின் சமன்பாடுகள்:

$$X=\cdots ={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t$$

$$Y=\cdots ={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t\;.$$

இச்சமன்பாடுகள் சமச்சீரற்றதொரு உடுவுருவைத் தரும். இச்சமன்பாடுகளிலிருந்து $t$ ஐ நீக்கக் கிடைக்கும் உள்ளார்ந்த உருவகிப்பு:

$$(aX)^{\tfrac {2}{3}}+(bY)^{\tfrac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{\tfrac {2}{3}}\ .$$

வட்டப்புள்ளியுருவின் மலரி

வட்டப்புள்ளியுரு (நீலம்), ஒட்டு வட்டம் (சிவப்பு), மலரி (பச்சை).

வட்டப்புள்ளியுரு $(r(t-\sin t),r(1-\cos t))$ என்ற துணையலகு உருவகிப்பைக் கொண்ட வட்டப்புள்ளியுருவின் மலரி:

$$X=\cdots =r(t+\sin t)$$

$$Y=\cdots =r(\cos t-1)$$

இச்சமன்பாடுகள் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வட்டப்புள்ளியுருவின் இடம் மாற்றப்பட்ட வட்டப்புள்ளியுருவாகவே இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

• Weisstein, Eric W., "Evolute", MathWorld.
• Sokolov, D.D. (2001), "Evolute", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1556080104
• Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Evolutes." pp. 86ff
• Evolute on 2d curves.