ஆனியின் தேற்றம்

யூக்ளீட் வடிவவியலில் ஆனியின் தேற்றம் (Anne's theorem) என்பது ஒரு குவிவு நாற்கரத்துக்குள் அமைந்த சில பரப்பளவுகளின் சமத்தன்மையைப் பற்றிக் கூறுகிறது. பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் பியர்ரெ-லியோன் ஆனி (Pierre-Leon Anne, 1806–1850) என்பவரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.

நாற்கரத்தின் எதிரெதிர் சோடி முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் கூட்டுத்தைகள் சமம்:
Area(BCL) + Area(DAL) = Area(LAB) + Area(DLC)

தேற்றத்தைன் கூற்று:

ABCD ஒரு இணைகரமல்லாதக் குவிவு நாற்கரம். அதன் மூலைவிட்டங்கள் AC, BD. மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகள் முறையே E, F. நாற்கரத்தின் உள்ளமையும் ஏதாவது ஒரு புள்ளி L. இப்புள்ளி நாற்கரத்தின் பக்கங்களுடன் சேர்ந்து நான்கு முக்கோணங்களை உருவாக்குகிறது. இவற்றில் எதிரெதிர் சோடி முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் கூட்டுத்தொகைகள் சமம் என்றால் புள்ளி L, நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் (நியூட்டன் கோடு) மீது அமையும். அதாவது,  Area(BCL) + Area(DAL) = Area(LAB) + Area(DLC) ) எனில், E, F புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் மீது புள்ளி L அமையும்.

ஒரு இணைகரத்தின் இரு மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகள் இரண்டும் ஒரே புள்ளியாக இருக்கும் என்பதால், இணைகரத்துக்கு நியூட்டன் கோடு இல்லை. எனினும் இணைகரத்தின் உள்ளமையும் ஏதாவது ஒரு புள்ளிக்குத் தேற்றத்தின் பரப்பளவு முற்றொருமை உண்மையாக இருக்கும்.

ஆனியின் தேற்றத்தின் மறுதலையும் உண்மை. அதாவது, ஒரு நாற்கரத்தின் உள்ளமையும் புள்ளி ஒன்று நாற்கரத்தின் நியூட்டன் கோட்டின் மீது அமைந்தால் தேற்றத்தில் தரப்பட்டுள்ள பரப்பளவு முற்றொருமை உண்மையாகும்.

மேற்கோள்கள்

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780883853481, pp. 116–117 (online copy, p. 116, கூகுள் புத்தகங்களில்)
• Ross Honsberger: More Mathematical Morsels. Cambridge University Press, 1991, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0883853140, pp. 174–175 online copy, p. 174, கூகுள் புத்தகங்களில்)

வெளியிணைப்புகள்

• Newton's and Léon Anne's Theorems at cut-the-knot.org
• Andrew Jobbings: The Converse of Leon Anne's Theorem பரணிடப்பட்டது 2014-03-04 at the வந்தவழி இயந்திரம்
• Weisstein, Eric W., "Leon Anne's Theorem", MathWorld.