உட்குலம் (கணிதம்)

கணிதத்தில் ஈருறுப்புச் செயலி * ஐப் பொறுத்த ஒரு குலம் G இன் உட்கணம் H ஆனது அதே ஈருறுப்புச் செயலி * ஐப் பொறுத்து குலமாக அமையுமானால் G இன் உட்குலம் (subgroup) எனப்படும். இது குறியீட்டில் H ≤ G எனக் குறிக்கப்பட்டு, "H ஆனது G இன் உட்குலம்" என வாசிக்கப்படுகிறது.

G இன் தகு உட்கணமாக H (H ≠ G) இருந்தால், H ஒரு தகு உட்குலம் எனப்படும். எந்த ஒரு குலத்துக்கும் அதன் முற்றொருமை உறுப்பை மட்டும் கொண்ட கணம் {e} மிக எளியதொரு உட்குலமாகும் (trivial subgroup).

அடிப்படைப் பண்புகள்

G குலத்தின் ஒரு உட்கணம் H அடைவுப் பண்பும் நேர்மாறு உறுப்புகளும் கொண்டிருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, H , G இன் உட்குலமாகும்.
குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பே உட்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பாக இருக்கும்.
உட்குலத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பின் நேர்மாறும், குலத்தில் அதன் நேர்மாறாகவே இருக்கும்.
ஒரு குலத்தின் இரு உட்குலங்கள் A , B எனில் அவற்றின் வெட்டுக்கணமும் அதே குலத்தின் உட்குலமாக இருக்கும்.^[1] ஆனால் அவை இரண்டில் ஏதாவது ஒன்று மற்றொன்றின் உட்கணமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அவற்றின் ஒன்றிப்பு கணம் உட்குலமாக இருக்கும்.
G இன் ஒரு உட்கணம் S எனில், S ஐ அடக்கிய அனைத்து உட்குலங்களின் வெட்டுக்கணமானது, S ஐ அடக்கிய மிகச்சிறிய உட்குலமாக அமையும். இந்த மிகச்சிறிய உட்குலம், S ஆல் பிறப்பிக்கப்பட்ட உட்குலம் எனப்படும். இதன் குறியீடு <S>.
G இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் (a) ஒரு சுழற் குலத்தைப் பிறப்பிக்கும் (<a>). Z/nZ உடன் சம அமைவியமுடையதாக <a> இருந்தால், aⁿ = e என அமையும் மிகச்சிறிய நேர் எண் n , a இன் வரிசை (கிரமம்) எனப்படும். Z உடன் சம அமைவியமுடையதாக <a> இருந்தால், a இன் வரிசை முடிவிலி ஆகும்..
G குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு e எனில், {e} ஆனது G இன் மிக எளிய உட்குலம். G ஆனது G இன் மிகப் பெரிய உட்குலம்.
லாக்ராஞ்சி தேற்றத்தின்படி, ஒரு முடிவுறு குலத்தின் வரிசையை அதன் ஒவ்வொரு உட்குலத்தின் வரிசையும் சரியாக வகுக்கும்; அதாவது மீதமின்றி வகுக்கும்.
H இன் இடது இணைக்கணமும் வலது இணைக்கணமும் சமமாக இருந்தால், அதாவது:

\forall a\in H,

aH=Ha

எனில் H இயல்நிலை உட்குலம் எனப்படும்.

முடிவுறுகுலம் G இன் வரிசையை மீதியின்றி வகுக்கும் மிகச்சிறிய பகா எண் p ஐக் குறியெண்ணாகக் கொண்டு ஒரு உட்குலம் G -க்கு இருந்தால் அது இயல்நிலை உட்குலமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு: Z₈ இன் உட்குலங்கள்

G=\left\{0,2,4,6,1,3,5,7\right\}

இது ஈருறுப்புச் செயலி கூட்டல் மாடுலோ 8 ஐப் பொறுத்து ஒரு சுழற் குலமாகும். இதற்குரிய கெய்லி அட்டவணை:

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

இக்குலத்திற்கு மிகஎளியதல்லாத இரு உட்குலங்கள் J = {0,4} , H = {0,2,4,6} உள்ளன. இவற்றுள் H இன் உட்குலமாக J உள்ளது. மேலுள்ள கெய்லி அட்டவணையின் இடதுமேற் காற்பகுதி H இன் கெய்லி அட்டவணையாகும். G ஒரு சுழற் குலமாக இருப்பதால் H, J இரண்டும் சுழற் குலங்கள். பொதுவாக ஒரு சுழற் குலத்தின் உட்குலங்கள் எல்லாம் சுழற் குலங்களாகவே இருக்கும்.