லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம்

லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் (Lagrange's theorem) கணிதத்தில் குலக் கோட்பாட்டுப் பிரிவில் ஒரு அடிப்படைத் தேற்றம். இத்தாலியக் கணிதவியலாளர் லாக்ராஞ்சி (1736-1813) இதைக் கண்டுபிடித்தார். இத்தேற்றத்தின்படி ஒரு முடிவுறு குலத்தின் வரிசையை (கிரமம்) அதன் ஒவ்வொரு உட்குலத்தின் வரிசையும் சரியாக வகுக்கும்.

G = $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$, கூட்டல் (மாடுலோ 8) ஐப் பொறுத்த முழு எண்களின் குலம். அதன் உட்குலம் H = {0, 4}, $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ உடன் சம அமைவியம் கொண்டது. H இற்கு 4 இடது இணைக்கணங்கள் உள்ளன: H , 1+H, 2+H, and 3+H. இந்நான்கும் குலம் G ஐ நான்கு சம அளவுள்ள, ஒன்றுக்கொன்று மேல்படியாத சமானப்பகுதிகளாகப் பிரிக்கின்றன. எனவே குறியெண் [G : H] = 4.

தேற்றம்

லாக்ராஞ்சியின் தேற்றத்தின் கூற்று

ஒரு முடிவுறு குலத்தின் வரிசையை அதன் ஒவ்வொரு உட்குலத்தின் வரிசையும் சரியாக வகுக்கும் (மீதமின்றி வகுக்கும்).

விளக்கம்

ஏதேனும் ஒரு முடிவுறு குலம் $G$; அதன் உட்குலம் $H$ எனில்,

$H$இன் வரிசை $|H|$

$G$ இன் வரிசை $|G|$

லாக்ராஞ்சியின் தேற்றப்படி, $|G|$ ஐ $|H|$ மீதமின்றி வகுக்கும். அதனால் ${\frac {|G|}{|H|}}$ இன் மதிப்பு ஒரு முழு எண்ணாகும். இம்மதிப்பு, $G$ இல் $H$ இன் குறியெண் எனப்படும். இக்குறியெண்ணின் குறியீடு $[G:H].$

$[G:H]={\frac {|G|}{|H|}}$ Associative law, closure property, Existence of Identity, Existence of Inverse these are staying it's [G]

நிறுவல்

வலது இணைக்கணம் என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தி இத்தேற்றத்தை நிறுவலாம்.

$G$ இன் உறுப்புக்களிடையே $x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow xy^{-1}\in H$ என்ற உறவை ஏற்படுத்தினால், இவ்வுறவு சமான உறவாகும். மேலும் இது $G$ ஐ சமானப் பகுதிகளாகப் பிரிக்கும். இச்சமானப் பகுதிகள் $H$ இன் வலது இணைக்கணங்கள் எனப்படும். உட்குலம் $H$ ம் ஒரு சமானப் பகுதிதான் -- அது முற்றொருமை உறுப்பு $e$ ஐ உள்ளடக்கியிருக்கும் சமானப் பகுதி. இச்சமானப் பகுதிகள் ஒவ்வொன்றிலும் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமம் என்று காட்டிவிட்டால், லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் நிறுவப்பட்டு விடும்.

$Ha,Hb$ என்ற ஏதாவது இரு வலது இணைக்கணங்களை எடுத்துக்கொண்டு அவற்றுக்கிடையே,

$f:Ha\rightarrow Hb,$ $f(x)=xa^{-1}b$

என்ற கோப்பினை வரையறுக்க, $\forall y\in$ $Hb,$ $f^{-1}(y)=yb^{-1}a$ என்பதும் உண்மையாவதால் இக்கோப்பு ஓர் இருவழிக் கோப்பாக அமையும். இந்த இருவழிக்கோப்பின் ஆட்களம் $Ha$ மற்றும் இணை ஆட்களம் $Hb$ இரண்டின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கைகளும் சமமாக இருக்கும். எனவே $G$ இன் அனைத்து சமானப்பகுதிகளின் ($H$ உட்பட) உறுப்புகளின் எண்ணிக்கைகளும் சமமாக இருக்கும். மேலும் அவை ஒவ்வொன்றும் $|H|$ க்குச் சமமாகவும் இருக்கும்.

$\Rightarrow |G|=|H|\times [G:H]$ ([G : H] = சமானப் பகுதிகளின் எண்ணிக்கை.)

$\Rightarrow |G|$ ஐ $|H|$ மீதியின்றி வகுக்கும். லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.

விளைவுகள்

• குலத்தின் ஓர் உறுப்பால் பிறப்பிக்கப்பட்ட உட்குலத்தின் கிரமம் அவ்வுறுப்பின் கிரமத்திற்குச் சமமாக இருக்குமாதலால் ஒவ்வொரு உறுப்பின் கிரமமும் குலத்தின் கிரமத்தை சரியாக வகுக்கும்.
• இன்னொரு முக்கியமான விளைவு: ஒரு குலத்தின் கிரமம் பகா எண்ணாக இருக்குமானானால் அது சுழற்குலமாகத்தான் இருக்கவேண்டும்.
• லாக்ராஞ்சியின் தேற்றத்தை

$|G|=[G:H]\times |H|$

என்று எழுதினால், முடிவுறாக் குலங்கள் $G,H$ க்கும் எண்ணளவை என்ற கருத்தடிப்படையில் இச்சமன்பாடு உண்மை பயக்கும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• பர்ன்ஸைடின் பிரச்சினைகள்
• லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் (எண்கோட்பாடு)
• லாக்ராஞ்சியின் நான்கு வர்க்கத் தேற்றம்

வெளியிணைப்புகள்

http://dogschool.tripod.com/lagrange.html