மாறிசைக்குலம்

ஒரு $n$ குறியீடுகளின் மாறிசைக்குலம் (Alternating Group on n objects) என்பது கணிதத்தில், குறிப்பாக, குலக்கோட்பாட்டில், சமச்சீர் குலம் S_n இன் ஒரு முக்கியமான உட்குலம். அது முடிவுறு கணம் {$1,2,...,n$} இனுடைய இரட்டை வரிசைமாற்றங்களின் குலமாகும்.

குலம் (கணிதம்)

குலக் கோட்பாடு அடிப்படைக் கருத்தமைவு துணைக்குலம் Normal subgroup Quotient group Group homomorphism (semi-)direct product தனித்த குலங்கள் முடிவுள்ள எளிய குலங்களின் வகைப்பாடு சுழல் குலம் Zn மாறிசைக்குலம் An Sporadic groups Mathieu group M11..12,M22..24 Conway group Co1..3 Janko group J1..4 Fischer group F22..24 Baby Monster group B Monster group M பிற முடிவுள்ள குலங்கள் சமச்சீர்க் குலம், Sn இருமுகக் குலம், Dn முடிவிலிக் குலங்கள் முழு எண்கள், Z மட்டுக் குலம்s, PSL(2,Z) and SL(2,Z) தொடர்ச்சியான குலங்கள் Lie குலம் பொது நீள் குலம் GL(n) சிறப்பு நீள் குலம் SL(n) செங்குத்துக் குலம் O(n) சிறப்புச் செங்குத்துக் குலம் SO(n) ஒற்றைக் குலம் U(n) சிறப்பு ஒற்றைக் குலம் SU(n) Symplectic குலம் Sp(n) ஜி2 எஃப்4 ஈ6 ஈ7 ஈ8 லாரென்ட்சு குலம் Poincaré குலம் முடிவிலிப் பரிமாணக் குலம் பொதுவடிவக் குலம் diffeomorphism group Loop group குவான்டம் குலம் O(∞) SU(∞) Sp(∞)

வரிசைமாற்றத்தின் குறி

ஒரு வரிசைமாற்றம் $A$-இன் குறி (Sign, Signature)என்பது +1 ஆகவோ -1 ஆகவோ வரையறுக்கப்படும். ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றமாயிருந்தால் அதன் குறி -1. இரட்டைப்படையாயிருந்தால், +1. இதற்குக் குறியீடு: $sgn(A)$ அல்லது $\epsilon (A).$ இப்பொழுது சமச்சீர் குலம் $S_{n}$ க்கும் 2-ஆவது கிரம சுழற் குலம் $C_{2}=\{+1,-1\}$ க்கும் இடையில் $\chi$ என்ற ஒரு சீலக்கோப்பு (Character Map) உண்டாக்கலாம். அதாவது,

$\chi :S_{n}\rightarrow \{+1,-1\}$

$A\mapsto sgn(A)$

இது ஒரு காப்பமைவியம் (homomorphism). இக்காப்பமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) தான் $n$ பொருள்களின் மாறிசைக்குலம் . இதற்குக் குறியீடு: $A_{n}$ . இதனுடைய கிரமம்: $n!/2.$ இவ்வுட்குலத்தில் இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் மட்டுமே உள்ளன; $n$-கிரம இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம் இதனில் அடக்கம்.

எடுத்துக்காட்டு

$S_{4}$ இல் 24 உறுப்புகள் உள்ளன. $A_{4}$ இன் 12 உறுப்புகள் (அ-து, 4-கிரம இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம்) பின்வருமாறு:

$e$ ; $(1)(234);(1)(243);$

$(2)(341);(2)(314);(3)(124);(3)(142);(4)(123);(4)(132)$

$(12)(34);(13)(24);(14)(23)$.

அடித்தளப்பண்புகள்

n ≤ 3 என்றால், என்றால்தான், $A_{n}$ ஒரு பரிமாற்றுக் குலம் ஆகும்

அதே போல், $n=3$ or $n\geq 5$என்றால், என்றால் தான், $A_{n}$ ஒரு எளிமைக் குலம் (Simple Group).

குறிப்பிடத்தக்க விஷயம்: $A_{5}$தான் பரிமாற்றாக் குலங்களில் மீச்சிறு எளிமைக்குலம். அதன் கிரமம் 60. இது இருபதுமுகிக் குலம் என்றும் சொல்லப்படும். நான்முகிக் குலம் என்று சொல்லப்படும் $A_{4}$ இல் {$(12)(34);(13)(24);(14)(23)$ மற்றும் I} ஒரு இயல்நிலை உட்குலம் (normal subgroup) உள்ளபடியால் அது எளிமைக் குலமாகாது.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• சமச்சீர் குலம்