எதிர்மறுப்பு நிறுவல்

முரண்பாட்டு நிறுவல் அல்லது எதிர்மறுப்பு நிறுவல் (proof by contradiction) என்பது கணித நிறுவல் முறைகளில் ஒருவகையாகும். இந்நிறுவல் முறையில், ஒரு கூற்று உண்மையானது என்பதை நிறுவ, அக்கூற்று உண்மையில்லை என எடுத்துக்கொண்டு, அதன் விளைவாக ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட வேறு கூற்றுகளில் முரண்பாடு ஏற்படுவதைச் சுட்டிக்காட்டுவதன் மூலம் கூற்று உண்மையாகத்தான் இருக்க வேண்டும் என நிறுவப்படுகிறது. இது மறைமுக நிறுவல் (indirect proof) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் எதிர்மறுப்பு நிறுவலை சதுரங்க உத்தியைவிட அதிக நுண்மையானது என்கிறார்^[1]

எடுத்துக்காட்டுகள்

2 இன் வர்க்கமூலம் ஒரு விகிதமுறா எண்

’2 இன் வர்க்கமூலம் ஒரு விகிதமுறா எண்’ என்ற கூற்றை நிறுவ பழங்காலத்திலிருந்தே எதிர்மறுப்பு நிறுவல் முறை பயன்படுத்தப்பட்டு வருகிறது.^[2]

நிறுவல்: 2-இன் வர்க்கமூலம் ஒரு விகிதமுறா எண் அல்ல என எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.; இந்நிலையில் 2-இன் வர்க்கமூலம் ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருக்க வேண்டும்.; விகிதமுறு எண் என்பதால், √2 = a/b என (எளிய பின்ன வடிவில் எழுதலாம்.; இப்பின்ன வடிவில் உள்ள a , b இரண்டும் முழு எண்கள்; மேலும் எளிய வடிவ பின்னம் என்பதால், குறைந்தபட்சம் இரண்டில் ஒன்று ஒற்றை எண்ணாக இருக்கும்.; a/b = √2 என்பதால், a² = 2b².; அதாவது a² ஒரு இரட்டை எண்.; ஒரு ஒற்றை எண்ணின் வர்க்கமும் ஒற்றை எண்ணாகவே இருக்க முடியும். எனவே, இரட்டை வர்க்க எண் கொண்ட a ஒரு இரட்டை எண்; a/b எளிய வடிவில் உள்ளது, மேலும் a ஒரு இரட்டை எண். எனவே b ஒரு ஒற்றை எண்ணாகத்தான் இருக்க வேண்டும்

மாறாக,

a இரட்டை எண்; அதனால் a² = 4 இன் மடங்கு. :a² = 2b² = 4 இன் மடங்கு

இதனால் b² ஒரு இரட்டை எண். அதாவது b ஒரு இரட்டை எண்.

b ஒற்றை எண்ணாகவும் அதே சமயம் இரட்டை எண்ணாகவும் உள்ளது. இது ஒரு முரண்பாடு.

எனவே √2 ஒரு விகிதமுறா எண் அல்ல; அது ஒரு விகிதமுறு எண்; அதனை இரு எளிய பின்ன வடிவில் எழுதலாம் என நிறுவலின் தொடக்கத்தில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட நிலை தவறு. √2 ஒரு விகிதமுறா எண்ணே.

இவ்வாறு, ‘2-இன் வர்க்கமூலம் ஒரு விகிதமுறா எண்’ என்ற கூற்று எதிர்மறுப்பு நிறுவல் முறையில் நிறுவப்படுகிறது.

செம்பக்கத்தின் நீளம்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கத்தின் நீளம், மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகையைவிட குறைவானதாக இருக்கும். எதிர்மறுப்பு நிறுவலைப் பயன்படுத்தி இக்கூற்றை நிறுவலாம்.^[3] இதற்குப் பித்தேகோரசு தேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

நிறுவல்: செம்பக்கத்தின் நீளம் = c; தாங்கு பக்கங்களின் நீளம் = a , b; நிறுவ வேண்டிய கூற்று: a + b > c.

எதிர்மறுப்பு முறையில் நிறுவ, இக்கூற்று உண்மையில்லை எனக் கொள்ள வேண்டும். அதாவது,

a + b ≤ c.

இருபுறமும் வர்க்கம் காண

(a + b)² ≤ c²

a² + 2ab + b² ≤ c².

முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்களாக இருப்பதால், a , b இன் மதிப்புகள் பூச்சியத்தைவிட பெரியதாக இருக்கும்.

ஃ a² + b² < a² + 2ab + b² ≤ c².

இந்தக் கடப்பு உறவைப் பின்வருமாறு சுருக்கலாம்

a² + b² < c².

இக்கூற்று, பித்தாகரசு தேற்ற முடிவான

a² + b² = c² உடன் முரண்படுகிறது.

எனவே a + b ≤ c என்பது உண்மையில்லை, a + b > c என்பதே சரியானது.

மேற்கோள்கள்

↑ G. H. Hardy, A Mathematician's Apology; Cambridge University Press, 1992. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780521427067. p. 94 -"It is a far finer gambit than any chess gambit: a chess player may offer the sacrifice of a pawn or even a piece, but a mathematician offers the game.".
↑ Alfeld, Peter (16 August 1996). "Why is the square root of 2 irrational?". Understanding Mathematics, a study guide. Department of Mathematics, University of Utah. பார்க்கப்பட்ட நாள் 6 February 2013.
↑ Stone, Peter. "Logic, Sets, and Functions: Honors" (PDF). Course materials. pp 14–23: Department of Computer Sciences, The University of Texas at Austin. பார்க்கப்பட்ட நாள் 6 February 2013.{{cite web}}: CS1 maint: location (link)

மேலும் படிப்பதற்கு

வெளியிணைப்புகள்

Proof by Contradiction from Larry W. Cusick's How To Write Proofs

[1] G. H. Hardy, A Mathematician's Apology; Cambridge University Press, 1992. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780521427067. p. 94 -"It is a far finer gambit than any chess gambit: a chess player may offer the sacrifice of a pawn or even a piece, but a mathematician offers the game.".

[2] Alfeld, Peter (16 August 1996). "Why is the square root of 2 irrational?". Understanding Mathematics, a study guide. Department of Mathematics, University of Utah. பார்க்கப்பட்ட நாள் 6 February 2013.

[3] Stone, Peter. "Logic, Sets, and Functions: Honors" (PDF). Course materials. pp 14–23: Department of Computer Sciences, The University of Texas at Austin. பார்க்கப்பட்ட நாள் 6 February 2013.{{cite web}}: CS1 maint: location (link)

[1]

[2]

[3]