கடிகாரக் கோணக் கணக்குகள்

கடிகாரக் கோணக் கணக்குகள் (Clock angle problems) ஒரு கடிகாரத்தின் முட்களுக்கிடைப்பட்ட கோணங்களின் அளவுகளைக் காணும் வழிமுறையைத் தருகின்றன.

2:20 நேரத்தைக் காட்டும்போது கடிகாரத்தின் மணி முள்ளுக்கும் நிமிட முள்ளுக்கும் இடைப்பட்ட கோணம்.

முட்களின் கோணம் காணல்

கடிகாரக் கோணக் கணக்குகளில் கோணம், நேரம் என்ற இரு வெவ்வேறு அளவுகள் தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன. கோணமானது, கடிகாரத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ள 12 என்ற எண்ணிலிருந்து கடிகார திசையில், பாகையில் அளக்கப்படுகிறது. நேரமானது, வழக்கமான 12-மணிக் கடிகார அமைப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டு கணக்கிடப்படுகிறது.

இதில் கோணத்தின் மாறுவீதம் பாகை/நிமிடம் அலகில் அளக்கப்படுகிறது. ஒரு வழக்கமான 12-மணிக் கடிகாரத்தின் மணிகாட்டும் முள்ளானது 12 மணிநேரத்தில் (720 நிமிடங்கள்) 360° கோணவளவு நகர்கிறது. அதாவது நிமிடத்திற்கு 0.5°. இதேபோல நிமிடமுள்ளானது 60 நிமிடங்களில் 360° கோணவளவு நகர்கிறது. அதாவது நிமிடத்திற்கு 6°.

மணிமுள்ளின் கோணம் காணும் சமன்பாடு

$\theta _{\text{hr}}={\frac {1}{2}}M_{\Sigma }={\frac {1}{2}}(60H+M)$

இதில்:

• $\scriptstyle \theta$ -எண் 12 இலிருந்து மணிமுள் நகரும் கோணவளவு (கடிகார திசையில், பாகையில் அளக்கப்பட்டது)
• $\scriptstyle H$ -மணித்தியாலம்
• $\scriptstyle M$ குறிப்பிட்ட மணித்தியாலம் கடந்த பின்னரான நிமிடங்கள்.
• $\scriptstyle M_{\Sigma }$ 12 மணி கடந்த பின்னான நிமிடங்கள்.

நிமிட முள்ளின் கோணம் காணும் சமன்பாடு

$\theta _{\text{min.}}=6M$

இதில்:

• $\scriptstyle \theta$ -கடிகாரத்தில் எண் 12 இலிருந்து நிமிடமுள் நகரும் கோணவளவு (கடிகார திசையில், பாகையில் அளக்கப்பட்டது)
• $\scriptstyle M$ நிமிடம்.

எடுத்துக்காட்டு

கடிகாரம் காட்டும் நேரம் 5:24 எனில்,

கோண முள்ளின் கோணம் (பாகையில்):

$\theta _{\text{hr}}={\frac {1}{2}}(60\times 5+24)=162$

நிமிட முள்ளின் கோணம் (பாகையில்):

$\theta _{\text{min.}}=6\times 24=144$

முட்களுக்கிடைப்பட்ட கோணம் காணும் சமன்பாடு

இரு முட்களுக்கிடைப்பட்ட கோணத்தைப் பின்வரும் வாய்ப்பாட்டின் மூலம் காணலாம்:

${\begin{aligned}\Delta \theta &=\left|\theta _{\text{hr}}-\theta _{\text{min.}}\right|\\&=\left|{\frac {1}{2}}(60H+M)-6M\right|\\&=\left|{\frac {1}{2}}(60H-11M)\right|\end{aligned}}$

இவ்வாய்ப்பாட்டில்,

• $\scriptstyle H$ என்பது மணித்தியாலத்தையும்,
• $\scriptstyle M$ நிமிடத்தையும் குறிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு

கடிகாரம் காட்டும் நேரம் 2:20 எனில் இரு முட்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்:

${\begin{aligned}\Delta \theta &=\left|{\frac {1}{2}}(60\times 2-11\times 20)\right|\\&=\left|{\frac {1}{2}}(120-220)\right|\\&=50\end{aligned}}$

இரு முட்களும் ஒன்றின்மேல் ஒன்றாக வருதல்

இரு முட்களின் கோணங்களும் சமமாக இருக்கும்போது இரண்டும் ஒன்றின்மேல் மற்றொன்று மேற்கவியும்.

${\begin{aligned}\theta _{\text{hr}}&=\theta _{\text{min.}}\\\Rightarrow {\frac {1}{2}}(60H+M)&=6M\\\Rightarrow 11M&=60H\\\Rightarrow M&={\frac {60}{11}}H\\\Rightarrow M&=5.{\overline {45}}H\end{aligned}}$

$\scriptstyle H$ இன் மதிப்புகள் 0–11 வீச்சிலமையும் முழு எண்கள். எனவே $\scriptstyle H=1,2,3,....11$ வரைப் பதிலிடக் கிடைக்கும் நேரங்கள்:

0:00, 1:05.45, 2:10.90, 3:16.36, .... (0.45 நிமிடங்கள் என்பது 27.27 நொடிகள் ஆகும்.)

வெளியிணைப்புகள்

• http://www.delphiforfun.org/Programs/clock_angle.htm
• http://www.ldlewis.com/hospital_clock/ - extensive clock angle analysis
• http://www.jimloy.com/puzz/clock1.htm பரணிடப்பட்டது 2010-06-08 at the வந்தவழி இயந்திரம்