குறுங்கோண, விரிகோண முக்கோணங்கள்
மூன்று கோணங்களையும் குறுங்கோணங்களாகக் கொண்ட (<90°)முக்கோணம் குறுங்கோண முக்கோணம் (acute triangle) ஆகும். இதேபோல ஒரு விரிகோணமும்(>90°), இரண்டு குறுங்கோணங்களையும் (<90°) கொண்ட முக்கோணம் விரிகோண முக்கோணம் (obtuse triangle) ஆகும். ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணவளவுகளின் கூடுதல் 180° என்பதால் எந்தவொரு முக்கோணமும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட விரிகோணத்தை கொண்டிருக்க முடியாது.
குறுங்கோண முக்கோணங்களும் விரிகோண முக்கோணங்களும் சாய்வு முக்கோண (oblique triangles) வகையைச் சேர்ந்தவை.
செங்கோண முக்கோணம் | விரிகோண முக்கோணம் | குறுங்கோண முக்கோணம் |
சாய்வு முக்கோணங்கள் |
பண்புகள்
தொகு- அனைத்து முக்கோணங்களுக்கும் அவற்றின் நடுக்கோட்டுச்சந்திகளும் உள்வட்ட மையங்களும், அந்தந்த முக்கோணங்களின் உட்புறத்திலமைகின்றன.
- செங்கோட்டுச்சந்திகளும் சுற்றுவட்ட மையங்களும் விரிகோண முக்கோணங்களுக்கு வெளிப்புறமும், குறுங்கோண முக்கோணங்களுக்கு உட்புறமும் அமைகின்றன.
- முக்கோணத்தின் குத்துக்கோடு என்பது முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சியிலிருந்து எதிர்ப்பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக வரையப்படும் கோட்டுத்துண்டாகும்.
- ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்தின் மூன்று குத்துக்கோடுகளும் அம்முக்கோணத்தின் உட்புறத்திலமைகின்றன. ஆனால் விரிகோண முக்கோணத்தில் இரு குறுங்கோண உச்சிகளிலிருந்து வரையப்படும் குத்துக்கோடுகள் இரண்டும் முக்கோணத்தின் வெளிப்புறத்தில்தான் எதிர்ப்பக்கங்களின் நீட்சிகளைச் சந்திக்கின்றன.
- எனவே குத்துக்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியான செங்கோட்டுச்சந்தி, குறுங்கோண முக்கோணத்திற்கு அதன் உட்புறமும், விரிகோண முக்கோணத்திற்கு அதன் வெளிப்புறமும் அமையும் (செங்கோண முக்கோணத்தில் சுற்றுவட்ட மையமும் செங்கோட்டுச்சந்தியும் முக்கோணத்தின் மேலமைகின்றன).
- முக்கோணம் ABC இல் A , B கோணங்களின் எதிர்ப்பக்கங்கள் முறையே a , b எனில்[1]{{rp|p. 264}:}
- எனவே விரிகோண முக்கோணத்தில், விரிகோணத்தின் எதிர்ப்பக்கம் மிகஅதிக நீளமான பக்கமாக இருக்கும்.
- ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்துக்குள் மூன்று சதுரங்கள் வரையலாம். இவ்வாறு வரையப்படும் ஒரு சதுரத்தின் பக்கமொன்று, முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் பகுதியாகவும், சதுரத்தின் மற்ற இரு உச்சிகள் முக்கோணத்தின் மீதமுள்ள இரு பக்கங்களின் மீதும் அமைந்திருக்கும்.
- ஒரு விரிகோண முக்கோணத்துக்குள் ஒரு சதுரம் மட்டுமே வரையமுடியும். இச்சதுரத்தின் ஒரு பக்கம் முக்கோணத்தின் மிகநீளமான பக்கத்தின் (விரிகோணத்தின் எதிர்ப்பக்கம்) ஒரு பகுதியாகவும், சதுரத்தின் மற்ற இரு உச்சிகள் முக்கோணத்தின் மீதமுள்ள இரு பக்கங்களின் மீதும் அமைந்திருக்கும்.[2]:p. 115
- செங்கோண முக்கோணத்துக்குள் வரையக்கூடிய மூன்று சதுரங்களில் இரண்டு ஒன்றுபடும் என்பதால் இரு சதுரங்கள் மட்டுமே வரையலாம்.
சமனிலிகள்
தொகுபக்கங்கள்
தொகுமுக்கோணம் ABC இல் கோணம் C விரிகோணம்; பக்கநீளங்கள் a, b, c எனில்[3]:p.1,#74:
குறுங்கோண முக்கோணம் எனில்:
செங்குத்துயரம்
தொகுமுக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய கோணம் C; C உச்சியிலிருந்து வரையப்படும் செங்குத்துயரம் hc.
கோணம் C குறுங்கோணம் எனில்:[3]:p.135,#3109
கோணம் C விரிகோணம் எனில்:
நடுக்கோடுகள்
தொகுமுக்கோணத்தின் மிகநீளமான பக்கநீளம் c . மற்ற இரு பக்கங்களின் நடுக்கோடுகளின் நீளங்கள் ma , mb எனில்[3]:p.136,#3110:
- (குறுங்கோண முக்கோணம்)
- (விரிகோண முக்கோணம்)
முக்கோணத்தின் மிகநீளமான பக்கதிற்கான நடுக்கோட்டின் (mc) நீளம் ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்தில் சுற்றுவட்ட ஆரத்தைவிட அதிகமானதாகவும், விரிகோண முக்கோணத்தில் குறைவானதாகவும் இருக்கும்[3]{{rp|p.136,#3113}.}
- (குறுங்கோண முக்கோணம்)
- (விரிகோண முக்கோணம்)
பரப்பளவு
தொகுஓனோவின் சமனிலியின்படி, முக்கோணத்தின் பரப்பளவு A எனில்:
இச்சமனிலி குறுங்கோண முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். விரிகோண முக்கோணங்களுக்குப் பொருந்தாது.
முக்கோணவியல் சார்புகள்
தொகுமுக்கோணத்தின் கோணங்கள் முறையே A, B, C எனில்[3]:p.26,#954:
- (குறுங்கோண முக்கோணம்)
- (விரிகோண முக்கோணம்)
- (குறுங்கோண முக்கோணம்)[3]:p.115,#2874
- (விரிகோண முக்கோணம்)
- (குறுங்கோண முக்கோணம்)[3]:p178,#241.1
முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம் R எனில்[3]:p.141,#3167[3]:p.155,#S25:
- (குறுங்கோண முக்கோணம்)
- (குறுங்கோண முக்கோணம்)
- (குறுங்கோண முக்கோணம்)
- (விரிகோண முக்கோணம்)
- (குறுங்கோண முக்கோணம்)[3]:p.26,#958
- (விரிகோண முக்கோணம்)
- (குறுங்கோண முக்கோணம்)[3]:p.40,#1210
முக்கோணத்தின் உள்வட்ட ஆரம், சுற்றுவட்ட ஆரம் r , R எனில்[3]:p.53,#1424:
- (குறுங்கோண முக்கோணம்)
ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு K [3]:p.103,#2662 எனில்:
சுற்றுவட்ட ஆரம், உள்வட்ட ஆரம், வெளிவட்ட ஆரம்
தொகுமுக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம் R ; உள்வட்ட ஆரம் r எனில்:
- (குறுங்கோண முக்கோணம்)[3]:p.105,#2690
- (விரிகோண முக்கோணம்)
ma , mb , mc முக்கோணத்தின் நடுக்கோடுகளின் நீளங்கள்; R சுற்றுவட்ட ஆரம் எனில்:
- (குறுங்கோண முக்கோணம்)[3]:p.26,#954
- (குறுங்கோண முக்கோணம்)
ra , rb , rc முக்கோணத்தின் வெளிவட்ட ஆரங்கள்; R சுற்றுவட்ட ஆரம் எனில்:
- (குறுங்கோண முக்கோணம்) [3]:p.26,#954
- (விரிகோண முக்கோணம்)
முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு s எனில்:
- (குறுங்கோண முக்கோணம்)[3]:p.115,#2874
- (விரிகோண முக்கோணம்)
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு K எனில்:
- (குறுங்கோண முக்கோணம்)[3]:p.185,#291.6
முக்கோண மையங்களைக் கொண்ட தூரங்கள்
தொகுசுற்றுவட்ட மையம் O ; செங்கோட்டுச்சந்தி H எனில்:
- [3]:p.26,#954 (குறுங்கோண முக்கோணம்)
- (விரிகோண முக்கோணம்)
உள்வட்ட மையம் I ; செங்கோட்டுச்சந்தி H ; உள்வட்ட ஆரம் r எனில்:
- (குறுங்கோண முக்கோணம்)[3]:p.26,#954
- (விரிகோண முக்கோணம்)
உட்சதுரம்
தொகுஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்தினுள் வரையப்பட்ட இரு சதுரங்களின் பக்கங்கள் xa , xb; மேலும் xa < xb, எனில்[2]:p. 115:
இரு விரிகோண முக்கோணங்கள்
தொகுஇரண்டு விரிகோண முக்கோணங்களின் பக்கங்கள் (a, b, c), (p, q, r); இரு முக்கோணங்களின் மிகநீளமான பக்கங்கள் c , r எனில்:[3]:p.29,#1030
மேற்கோள்கள்
தொகு- ↑ Posamentier, Alfred S. and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
- ↑ 2.0 2.1 Oxman, Victor, and Stupel, Moshe. "Why are the side lengths of the squares inscribed in a triangle so close to each other?" Forum Geometricorum 13, 2013, 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html
- ↑ 3.00 3.01 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, [1].
- Weisstein, Eric W., "Acute triangle", MathWorld.
- Weisstein, Eric W., "Obtuse triangle", MathWorld.