உள்வட்டமையம்

ஒரு முக்கோணத்தின், உள்வட்டமையம் (incenter) என்பது அந்த முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிக்கோணங்களின் இருசமவெட்டிகளும் சந்திக்கும் புள்ளியாகும். இது முக்கோணத்தின் மையங்களுள் ஒன்றாகும். பண்டைய கிரேக்கர்கள் அறிந்திருந்த நான்கு முக்கோண மையங்களுள் இதுவும் ஒன்று (மற்றவை: நடுக்கோட்டுச்சந்தி, சுற்றுவட்டமையம், செங்கோட்டுச்சந்தி). கிளார்க் கிம்பர்லிங்கின் முக்கோண மையங்களின் கலைக்களஞ்சியத்தில் உள்வட்டமையமே முதல் முக்கோண மையமாகத் ( X(1)) தரப்பட்டுள்ளது. முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலிருந்தும் உள்வட்டமையம் சமதூரத்தில் இருக்கும். இந்தத் தொலைவை ஆரமாகவும் உள்வட்டமையத்தை மையமாகவும் கொண்டு வரையப்படும் வட்டமானது, முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களையும் உட்புறமாகத் தொடுகிறது. இவ்வட்டமே முக்கோணத்தின் உள்வட்டம் என அழைக்கப்படுகிறது. உள்வட்டமையம், முக்கோண மையங்களின் பெருக்கல் குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பாக அமையும்.^[1]^[2]

வரையறை

"ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று உட்கோண இருசமவெட்டிகளும் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும்" என்பது யூக்ளிடிய வடிவவியலில் ஒரு தேற்றமாகும். இப்புள்ளி முக்கோணத்தின் உள்வட்டத்தின் மையமாக உள்ளது என யூக்ளிடின் புத்தகத்தில் (Elements, Proposition 4 of Book IV) நிறுவப்பட்டுள்ளது. உள்வட்டமையத்திலிருந்து முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு ஒரு செங்குத்துக்கோட்டுத்துண்டினை வரைந்து அதனை ஆரமாகவும், உள்வட்டமையத்தை மையமாகவும் கொண்டு, முக்கோணத்தின் உள்வட்டத்தினை வரையலாம்.^[3]

முக்கோணத்தின் பக்கங்களாக அமையும் மூன்று கோட்டுத்துண்டுகளில் இருந்து மட்டுமல்லாது, அக்கோட்டுத்துண்டுகளை உள்ளடக்கிய மூன்று கோடுகளில் இருந்தும் உள்வட்டமையமானது சமதொலைவில் இருக்கும். உள்வட்டமையம் மட்டும் முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் இருந்து சமதொலைவிலுள்ள புள்ளியல்ல; அம்முக்கோணத்தின் வெளிவட்டங்களின் மையங்களும் முக்கோணத்தின் பக்கக்கோடுகளிலிருந்து சமதொலைவில் உள்ளன. ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்டமையமும் மூன்று வெளிவட்டமையங்களும் சேர்ந்து ஒரு செங்கோட்டுச்சந்தித் தொகுதியாக (orthocentric system) அமைகின்றன .^[4]

முக்கோணத்தின் பக்கங்கள், உச்சிகளுடன் தொடர்பு

கார்ட்டீசியன் ஆட்கூறுகள்

முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் ஆட்கூறுகள் $(x_{a},y_{a})$ , $(x_{b},y_{b})$ , $(x_{c},y_{c})$ ; மேலும் இந்த உச்சிகளின் எதிரிலமைந்த பக்கநீளங்கள் முறையே $a$ , $b$ , $c$ எனில், உள்வட்டமையத்தின் ஆட்கூறுகள்:

{\bigg (}{\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}{\bigg )}={\frac {a(x_{a},y_{a})+b(x_{b},y_{b})+c(x_{c},y_{c})}{a+b+c}}.

உள்வட்டமையத்தின் கார்ட்டீசிய ஆட்கூறுகள், முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் ஆட்கூறுகளின் நிறையிட்டச் சராசரியாக உள்ளது. ஒத்த பக்கங்களின் நீளங்கள் நிறைகளாக அமைந்துள்ளன. இந்நிறைகள் நேர்மதிப்புடையவை என்பதால் உள்வட்டமையம் முக்கோணத்தின் உட்புறத்தில் அமைகிறது

முந்நேரியல் ஆட்கூறுகள்

முக்கோணத்தினுள் அமைந்த ஒரு புள்ளியின் முந்நேரியல் ஆட்கூறுகள், முக்கோணத்தின் பக்கங்களிலிருந்து அப்புள்ளி அமைந்துள்ள தொலைவுகளின் விகிதமாக இருக்கும். எனவே உள்வட்டமையம் பக்கங்களிலிருந்து சமதொலைவில் அமைவதால் அதன் முந்நேரியல் ஆட்கூறுகள்^[2]:

\ 1:1:1.

ஒரு முக்கோணத்தின் மையங்கள் முந்நேரியல் ஆட்கூறுகளின் பெருக்கலைப் பொறுத்து ஒரு குலமாக அமையும். இக்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு உள்வட்டமையமாகும்.^[2]

ஈர்ப்புமைய ஆட்கூறுகள்

உள்வட்டமையத்தின் ஈர்ப்புமைய ஆட்கூறுகள்:

\ a:b:c

$a$ , $b$ , $c$ -முக்கோணத்தின் பக்கநீளங்கள்

(அல்லது)

சைன் விதியைப் படன்படுத்த:

\sin(A):\sin(B):\sin(C)

$A$ , $B$ , $C$ -முக்கோணத்தின் உச்சிக் கோணங்கள்.

உச்சியிலிருந்து உள்ள தூரம்

முக்கோணம் ABC இன் உள்வட்டமையம் I, உள்வட்டமையத்திற்கும் முக்கோணத்திற்கும் உச்சிகளுக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவுகளும் முக்கோணத்தின் பக்கநீளங்களும் நிறைவுசெய்யும் சமன்பாடு^[5]:

{\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1.

மேலும்,^[6]

IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},

R, r -சுற்றுவட்ட ஆரம், உள்வட்ட ஆரம்.

பிற முக்கோண மையங்கள்

உள்வட்டமையத்திற்கும் நடுக்கோட்டுச்சந்திக்கும் இடையேயான தொலைவானது, அதிநீளமான [[நடுக்கோட்டின் நீளத்தில் மூன்றில் ஒரு பங்கைவிடச் குறைவாக இருக்கும்.^[7]

வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றத்தின்படி, உள்வட்டமையம் I க்கும் சுற்றுவட்டமையம் O க்கும் இடைப்பட்ட தொலைவின் வர்க்கம்:^[8]^[9]

OI^{2}=R(R-2r),

R , r -சுற்றுவட்ட ஆரம், உள்வட்ட ஆரம்.

எனவே சுற்றுவட்ட ஆரத்தின் குறைந்தபட்ச அளவு உள்வட்ட ஆரத்தைப்போல இருமடங்காகும் (சமபக்க முக்கோணத்தில் மட்டும் உள்வட்ட ஆரத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்).^[10]^{:p. 198}

ஒன்பது-புள்ளி வட்டமையத்திலிருந்து (N) உள்வட்டமையத்தின் தொலைவு^[9]:

IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.

செங்கோட்டுச்சந்திக்கும்( H) உள்வட்டமையத்திற்கும் ( I ) இடைப்பட்டத் தொலைவின் வர்க்கம்:^[11]

IH^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.

சமனிலிகள்: $IG<HG,\quad IH<HG,\quad IG<IO,\quad 2IN<IO.$

நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின் நாகெல் புள்ளியாக உள்வட்டமையம் இருக்கும். மறுதலையாக, ஒரு முக்கோணத்தின் நாகெல் புள்ளியானது எதிர்நிரப்பு முக்கோணத்தின் உள்வட்டமையமாக இருக்கும்^[12].

நடுக்கோட்டுச்சந்தி G , செங்கோட்டுச்சந்தி H இரண்டையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தகட்டினுள் (orthocentroidal disk) உள்வட்டமையம் அமையும்; எனினும் விட்டத்தின் அளவில் காற்பங்குத் தொலைவிலும், விட்டத்தன் மேல் நடுக்கோட்டுச்சந்திக்கு அருகாமையிலும், நிலையான புள்ளியாக அமைந்துள்ள ஒன்பது-புள்ளி வட்டமையத்துடன் உள்வட்டமையம் ஒன்றாது. ^[13]

ஆய்லர் கோடு

ஒரு முக்கோணத்தின் ஆய்லர் கோடு, அம்முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டமையம், நடுக்கோட்டுச்சந்தி, செங்கோட்டுச்சந்தி வழியே செல்லும் கோடாகும். பொதுவாக உள்வட்டமையம் ஆய்லர் கோட்டின்மீது அமைவதில்லை;^[14] எனினும் இருசமபக்க முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே உள்வட்டமையமானது ஆய்லர் கோட்டின் மீதமையும்.^[15] இருசமபக்க முக்கோணத்திற்கு ஆய்லர் கோடானது அதன் சமச்சீர் அச்சுடன் ஒன்றும். இருசமபக்க முக்கோணத்தில் அனைத்து முக்கோண மையங்களும் ஆய்லர் கோட்டின் மீது அமைகின்றன.

d -உள்வட்டமையத்திலிருந்து ஆய்லர் கோட்டின் தொலைவு,

v -மிகநீளமான நடுக்கோட்டின் நீளம்,

u -மிகநீளமான முக்கோணப் பக்கத்தின் நீளம்,

R -சுற்றுவட்ட ஆரம்,

e -செங்கோட்டுச்சந்திக்கும் சுற்றுவட்டமையத்துக்கும் இடைப்பட்ட ஆய்லர் கோட்டுத்துண்டின் நீளம்,

s -முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு எனில், கீழ்க்காணும் சமனிலிகள் உண்மையாகும்^[16]:

{\frac {d}{s}}<{\frac {d}{u}}<{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3}};

d<{\frac {1}{3}}e;

d<{\frac {1}{2}}R.

பரப்பளவு-சுற்றளவு பிளப்பிகள்

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, சுற்றளவு இரண்டையும் இருசமமாகப் பிரிக்கின்ற எந்தவொரு கோடும் முக்கோணத்தின் உள்வட்டமையம் வழியே செல்லும். உள்வட்டமையத்தின் வழியாகச் செல்லும் ஒரு கோடானது முக்கோணத்தின் பரப்பளவை இருசம பாகங்களாகப் பிரிக்குமென்றால், கண்டிப்பாக அக்கோடு முக்கோணத்தின் சுற்றளவையும் இருசம பாகங்களாகப் பிரிக்கும். ஒரு முக்கோணத்திற்கு, இவ்வாறான பிளப்பிகள் ஒன்று, இரண்டு அல்லது மூன்று இருக்கும்^[17]

கோண இருசமவெட்டியிலிருந்து தொலைவுகள்

X என்பது முக்கோணம் ABC இன் உச்சிக்கோணம் A இன் உட்கோண இருசமவெட்டியின் மீதமைந்த ஏதேனுமொரு புள்ளியெனில், X = I (உள்வட்டமையம்) ஆக இருக்கும்பொழுது அந்தக் கோணஇருசமவெட்டியில் ${\tfrac {BX}{CX}}$ என்ற விகிதத்தின் மதிப்பு பெருமம் அல்லது சிறுமமாக இருக்கும்.^[18]

மேற்கோள்கள்

↑ Kimberling, Clark (1994), "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle", Mathematics Magazine, 67 (3): 163–187, JSTOR 2690608, MR 1573021.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Encyclopedia of Triangle Centers, accessed 2014-10-28.
↑ Euclid's Elements, Book IV, Proposition 4: To inscribe a circle in a given triangle. David Joyce, Clark University, retrieved 2014-10-28.
↑ Johnson, R. A. (1929), Modern Geometry, Boston: Houghton Mifflin, p. 182.
↑ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; Yao, Haishen (March 2012), "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette, 96: 161–165.
↑ Altshiller-Court, Nathan (1980), College Geometry, Dover Publications. #84, p. 121.
↑ Franzsen, William N. (2011), "The distance from the incenter to the Euler line" (PDF), Forum Geometricorum, 11: 231–236, MR 2877263. Lemma 3, p. 233.
↑ (Johnson 1929), p. 186
↑ ^9.0 ^9.1 (Franzsen 2011), p. 232.
↑ Dragutin Svrtan and Darko Veljan, "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html
↑ Marie-Nicole Gras, "Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers" Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
↑ (Franzsen 2011), Lemma 1, p. 233.
↑ (Franzsen 2011), p. 232.
↑ Schattschneider, Doris; King, James (1997), Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research, The Mathematical Association of America, pp. 3–4, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0883850992{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ Edmonds, Allan L.; Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2008), "Orthocentric simplices and biregularity", Results in Mathematics, 52 (1–2): 41–50, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1007/s00025-008-0294-4, MR 2430410, It is well known that the incenter of a Euclidean triangle lies on its Euler line connecting the centroid and the circumcenter if and only if the triangle is isosceles {{citation}}: line feed character in |quote= at position 93 (help).
↑ (Franzsen 2011), pp. 232–234.
↑ Kodokostas, Dimitrios (April 2010), "Triangle equalizers", Mathematics Magazine, 83: 141–146, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.4169/002557010X482916.
↑ Arie Bialostocki and Dora Bialostocki, "The incenter and an excenter as solutions to an extremal problem", Forum Geometricorum 11 (2011), 9-12. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201102index.html

வெளியிணைப்புகள்

Weisstein, Eric W., "Incenter", MathWorld.

[k94-1] Kimberling, Clark (1994), "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle", Mathematics Magazine, 67 (3): 163–187, JSTOR 2690608, MR 1573021.

[etc-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Encyclopedia of Triangle Centers, accessed 2014-10-28.

[3] Euclid's Elements, Book IV, Proposition 4: To inscribe a circle in a given triangle. David Joyce, Clark University, retrieved 2014-10-28.

[4] Johnson, R. A. (1929), Modern Geometry, Boston: Houghton Mifflin, p. 182.

[5] Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; Yao, Haishen (March 2012), "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette, 96: 161–165.

[ac-6] Altshiller-Court, Nathan (1980), College Geometry, Dover Publications. #84, p. 121.

[7] Franzsen, William N. (2011), "The distance from the incenter to the Euler line" (PDF), Forum Geometricorum, 11: 231–236, MR 2877263. Lemma 3, p. 233.

[8] (Johnson 1929), p. 186

[f232-9] 9.0 ^9.1 (Franzsen 2011), p. 232.

[10] Dragutin Svrtan and Darko Veljan, "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html

[11] Marie-Nicole Gras, "Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers" Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html

[12] (Franzsen 2011), Lemma 1, p. 233.

[13] (Franzsen 2011), p. 232.

[14] Schattschneider, Doris; King, James (1997), Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research, The Mathematical Association of America, pp. 3–4, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0883850992{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[15] Edmonds, Allan L.; Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2008), "Orthocentric simplices and biregularity", Results in Mathematics, 52 (1–2): 41–50, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1007/s00025-008-0294-4, MR 2430410, It is well known that the incenter of a Euclidean triangle lies on its Euler line connecting the centroid and the circumcenter if and only if the triangle is isosceles {{citation}}: line feed character in |quote= at position 93 (help).

[16] (Franzsen 2011), pp. 232–234.

[17] Kodokostas, Dimitrios (April 2010), "Triangle equalizers", Mathematics Magazine, 83: 141–146, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.4169/002557010X482916.

[18] Arie Bialostocki and Dora Bialostocki, "The incenter and an excenter as solutions to an extremal problem", Forum Geometricorum 11 (2011), 9-12. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201102index.html

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]