அரைச்சுற்றளவு
வடிவவியலில், ஒரு பல்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு (semiperimeter) என்பது அதன் சுற்றளவில் பாதியளவாகும். வாய்ப்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படும் போது, அரைச்சுற்றளவானது s என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.
முக்கோணங்கள்
தொகுபெரும்பாலும் முக்கோணங்களில் அரைச்சுற்றளவு பயன்படுகிறது. ஒரு முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு s இன் வாய்ப்பாடு:
- (a , b , c முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள்
பண்புகள்
தொகு- ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சி மற்றும் அந்த உச்சியின் எதிர்ப் பக்கத்தின் வெளிவட்டம் அப் பக்கத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி இரண்டும், முக்கோணத்தின் சுற்றளவை சமநீளங்கள் கொண்ட இரு பாகங்களாகப் பிரிக்கின்றன. மேலும் அவ்விரு சமபாகங்களின் நீளம், முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவிற்குச் சமமாக இருக்கும்.
- முக்கோணத்தின் உச்சிகள் A, B, C ஒவ்வொன்றின் எதிர்ப் பக்கங்களின் வெளிவட்டங்கள் அப் பக்கங்களைத் தொடும்புள்ளிகள் முறையே, A', B', C' எனில், கோட்டுத்துண்டுகள் AA', BB', CC' மூன்றும் முக்கோணத்தின் பிளப்பிகள் என்றறியப்படுகின்றன. மேலும்,
- இம் மூன்று பிரிக்கும் கோடுகளும் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் கோடுகள் ஆகும். அவை சந்திக்கும் புள்ளி, நாகெல் புள்ளி எனப்படுகிறது.
- ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையத்தின் வழிச் செல்லும் ஒரு கோடு, முக்கோணத்தின் பரப்பளவை இருசமக்கூறிடுவதாக ”இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே”, அக்கோடு முக்கோணத்தின் சுற்றளவையும் இருசமக்கூறிடும்.
- ஒரு முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவானது அம் முக்கோணத்தின் நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின் சுற்றளவுக்குச் சமமாக இருக்கும்.
- அடிப்படை முக்கோணச் சமனிலியின்படி, முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கத்தின் நீளம் அம் முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவைவிடச் சிறியதாக இருக்கும்.
அரைச்சுற்றளவு கொண்ட வாய்ப்பாடுகள்
தொகு- (முக்கோணத்தின் பரப்பு K )
- (முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம் R)
- (முக்கோணத்தின் உள்வட்ட ஆரம் r)
- கோடேன்ஜெண்ட் விதி
- முக்கோணத்தில், a நீளம் கொண்ட பக்கத்திற்கு எதிர்க் கோணத்தின் உட்கோண இருசமவெட்டியின் நீளம்[1]
செங்கோண முக்கோணத்தில்,
- செம்பக்கத்தின் வெளிவட்ட ஆரமானது முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவுக்குச் சமமாக இருக்கும்.
- உள்வட்டம் மற்றும் சுற்றுவட்டத்தின் இருமடங்கு ஆகிய இரண்டின் கூட்டுத்தொகையானது அரைச்சுற்றளவிற்குச் சமமாக இருக்கும்.
- செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு:
- (a , b செங்கோண முக்கோணத்தின் தாங்கு பக்கங்கள்)
நாற்கரங்கள்
தொகுa, b, c , d பக்கநீளங்கள் கொண்ட நாற்கரத்தின் அரைச்சுற்றளவின் வாய்ப்பாடு:
- அரைச்சுற்றளவு மற்றும் உள்வட்ட ஆரம் அடங்கிய முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணப் பயன்படும் வாய்ப்பாடு தொடு நாற்கரங்களுக்குக்கும் பொருந்தும்.
- தொடு நாற்கரத்தின் உள்வட்ட ஆரம் r, அரைச்சுற்றளவு s, பரப்பளவு k எனில்:
- பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டின் எளிய வடிவம் a, b, c, d -ஐ பக்க நீளங்களாகக் கொண்ட வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பளவைத் தருகிறது:
- இதனை பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு அனைத்துக் குவிவு நாற்கரங்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்துகிறது:
( இரண்டும் நாற்கரத்தின் எதிர்க் கோணங்கள்)
ஒழுங்குப் பல்கோணம்
தொகுஒரு குவிவு ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் பரப்பளவானது, பல்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு, பக்கநடுக்கோட்டின் நீளம் ஆகிய இரண்டின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.
மேற்கோள்கள்
தொகு- ↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70.
வெளி இணைப்புகள்
தொகு- Weisstein, Eric W., "Semiperimeter", MathWorld.