பல்கோணப் பக்கநடுக்கோடு

பல்கோணப் பக்கநடுக்கோடு (apothem) என்பது ஒரு ஒழுங்கான பல்கோணத்தின் மையத்தையும் அதன் ஒரு பக்கத்தின் நடுப்புள்ளியையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டாகும். இக் கோட்டுத்துண்டு பல்கோணத்தின் அப்பக்கத்திற்குச் செங்குத்தாக இருக்கும் என்பதால் இதனை, பல்கோணத்தின் மையத்திலிருந்து அதன் ஒரு பக்கத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடு எனவும் கூறலாம். ஒரு ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் அனைத்து பக்கநடுக்கோடுகளும் சமநீளமுள்ளவை.

அறுகோணத்தின் பக்கநடுக்கோடு

அடிப்பகுதியை அறுகோணமாகக் கொண்ட ஒழுங்குப் பட்டைக்கூம்பின் பக்கநடுக்கோடு அதன் பக்கவாட்டு சாய்வுப் பக்கத்தின் சாய்வு உயரமாகும். அதாவது பட்டைக்கூம்பின் ஒரு பக்கவாட்டு சாய்வுப் பக்கத்தின் உச்சிக்கும் அதன் அடிப்பக்கத்திற்கான மிகக்குறைந்த தூரமாகும். நுனியிலா பட்டைக்கூம்பின் ((பட்டைக்கூம்பின் அடிப்பக்கத்திற்கு இணையான தளத்தால் நுனிப்பகுதி வெட்டப்பட்ட பட்டக்கூம்பு)பக்கவாட்டு சரிவகப் பக்கத்தின் உயரமே அந்த நுனியிலா பட்டைக்கூம்பின் பக்கநடுக்கோடாகும்.

ஒரு சமபக்க முக்கோணத்திற்கு, அச்சம முக்கோண நடுப்புள்ளிகளுள் ஏதேனும் ஒன்றிலிருந்து அதன் ஒரு பக்கத்தின் நடுப்புள்ளிக்கு வரையப்படும் கோட்டுத்துண்டாகும். (சமபக்க முக்கோணத்திற்கு அதன் அனைத்து முக்கோண நடுப்புள்ளிகளும் ஒரேபுள்ளியாக இருக்கும்)

பண்புகள்

• ஒரு ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் பக்கநடுக்கோட்டின் நீளம் ( a), பல்கோணத்தின் பரப்பளவைக் (A) காணப் பயன்படுகிறது:

$A={\frac {nsa}{2}}={\frac {pa}{2}}.$

n-ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை;

s -ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் பக்க நீளம்

p -ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் சுற்றளவு (p = ns)

n-பக்கங்கள் கொண்ட ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் மையத்தையும் அதன் உச்சிகளையும் கோட்டுத்துண்டுகளால் இணைத்தால், பல்கோணமானது n -இருசமபக்க சர்வசம முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கப்படும். அம் முக்கோணங்கள் ஒவ்வொன்றின் அடிப்பக்கம் பல்கோணத்தின் ஒரு பக்கமாகவும் அதன் உயரம் பல்கோணத்தின் நடுப்பக்கக்கோடாகவும் இருக்கும்.

ஒரு இருசமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு :

${\frac {sa}{2}}$

எனவே பல்கோணத்தின் பரப்பளவு (n -இருசமபக்க சர்வசம முக்கோணங்களின் பரப்பளவு)::

$A={\frac {nsa}{2}}$

பல்கோணத்தின் சுற்றளவு p = ns என்பதால்:

$A={\frac {nsa}{2}}={\frac {pa}{2}}.$

ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் பரப்பளவின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி வட்டத்தின் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாட்டைக் காணலாம்:

ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை முடிலியை நோக்கி நெருங்கும்போது, அப் பல்கோணம் வட்டமாகிறது. எனவே ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் பரப்பளவானது, ஆரம் r = a கொண்ட பல்கோணத்துக்கள் வரையப்பட்ட உள்வட்டத்தின் பரப்பளவை அணுகுகிறது..

$A={\frac {pa}{2}}={\frac {(2\pi r)r}{2}}=\pi r^{2}$

• ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் பக்கநடுக்கோடு, அதன் உள்வட்ட ஆரமாக இருக்கும்.
• ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் மையத்திற்கும் அதன் ஏதேனுமொரு பக்கத்திற்கும் இடைப்பட்ட மிகக்குறைந்த தூரம் பக்கநடுக்கோட்டின் நீளமாகும்.

நீளம் காணல்

ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் பக்கநடுக்கோட்டின் நீளத்தினைக் காணும் இரு வாய்ப்பாடுகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன:

n-பக்கங்கள் கொண்ட ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் பக்க நீளம் s, சுற்றுவட்ட ஆரம் R எனில் பக்கநடுக்கோட்டின் நீளம் a :

$a={\frac {s}{2\tan(\pi /n)}}=R\cos(\pi /n).$

$a={\frac {1}{2}}s\tan \!\left({\frac {\pi (n-2)}{2n}}\right).$

ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் சுற்றளவு p மற்றும் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை n மட்டும் தரப்பட்டிருந்தாலும் $s={\frac {p}{n}}$ என்பதால், பக்கநடுக்கோட்டின் நீளம் காண இவ்விருவாய்ப்பாடுகளையும் பயன்படுத்த முடியும்.

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W. "Apothem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Apothem.html
• Apothem of a regular polygon பரணிடப்பட்டது 2017-03-03 at the வந்தவழி இயந்திரம் With interactive animation
• Apothem of pyramid or truncated pyramid பரணிடப்பட்டது 2021-04-21 at the வந்தவழி இயந்திரம்
• Sagitta, Apothem, and Chord by Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project