குலச் சமஅமைவியம்

நுண்புல இயற்கணிதத்தில் குலச் சமஅமைவியம் (group isomorphism) என்பது இரு குலங்களின் உறுப்புகளுக்கிடையில் ஒன்றுக்கு-ஒன்று தொடர்பினை ஏற்படுத்தும் சார்பாகும். இரு குலங்களுக்கிடையே சமஅமைவியம் இருக்குமானால் அவையிரண்டும் சமஅமைவியமுடைய குலங்கள் எனப்படும். சமஅமைவியமுடைய குலங்களின் பண்புகள் ஒரேமாதிரியாக அமைந்திருக்கும்.

வரையறையும் குறியீடும்

(G, *) , (H, $\odot$) ஆகிய இரு குலங்களுக்கிடையே குலச் சமஅமைவியமானது G லிருந்து H க்கு வரையறுக்கப்படும் இருவழிக் குலக் காப்பமைவியமாகும்.

வரையறை:

$f:G\rightarrow H$

$f(u*v)=f(u)\odot f(v),\forall u,v\in G$.

குறியீடு: (G, *) , (H, $\odot$) இரண்டும் சம அமைவியமுடைய குலங்கள் என்பதைக் குறிக்கும் குறியீடு:

$(G,*)\cong (H,\odot )$

இரு குலங்களின் ஈருறுப்புச் செயலிகளும் நன்கறியப்பட்டவையாக இருப்பின், அவையில்லாமல் இக்குறியீட்டைச் சுருக்கமாக எழுதலாம்:

$G\cong H$

சிலசமயங்களில் G = H எனவும் குறிக்கப்படலாம். ஆனால் இது எல்லா சூழ்நிலைகளிலும் சரியாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக இரு குலங்களும் ஒரே குலத்தின் உட்குலங்களாக இருந்தால் சமஅமைவியத்திற்கு சமக்குறிமட்டும் இடுதல் பொருந்தாது.

மறுதலையாக, குலம் (G, *); கணம் H; இருவழிக்கோப்பு $f:G\rightarrow H$ மூன்றும் தரப்பட்டால்,

$f(u)\odot f(v)=f(u*v)$

என வரையறுப்பதன் மூலம் H கணத்தை (H, $\odot$) எனும் குலமாக்கலாம்.

H = G , $\odot$ = * எனில் இச்சார்பு தன்னமைவியம் எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் ($\mathbb {R}$,+), நேர் மெய்யெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் ($\mathbb {R}$⁺,×): சமஅமைவியமுடையது:

$(\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )$

சமஅமைவியம்:

$f(x)=e^{x},\forall x\in \mathbb {R}$

• மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் ($\mathbb {R}$,+) இன் உட்குலம் முழு எண்களின் கூட்டல் குலம் ($\mathbb {Z}$, +). காரணி குலம் $\mathbb {R} /\mathbb {Z} ,$ தனி மதிப்பு 1 கொண்ட சிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் ($S^{1}$, ×) சமஅமைவியமுடையது:

$\mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}$

சமஅமைவியம்:

$f(x+\mathbb {Z} )=e^{2\pi xi},\forall x\in \mathbb {R}$

• கிளைன் நான்குறுப்புக்குலம், $\mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ இன் இரு நகல்களின் நேர்பெருக்கல் குலத்துடன் ($\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$) சமஅமைவியமுடையது.
• (G, *) ஒரு முடிவுறா சுழற் குலம் எனில் முழு எண்களின் கூட்டல் குலத்துடன் (G, *) சமஅமைவியம் கொண்டது.
• மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் ($\mathbb {R}$, +) சிக்கலெண்களின் கூட்டல் குலத்துடன் ($\mathbb {C}$, +) சமாமைவியமுடையது.
• பூச்சியமற்ற சிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலம் ($\mathbb {C}$^*, ·) தனிமதிப்பு 1 உடையசிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் ($S^{1}$, ×) சமஅமைவியமுடையது.

பண்புகள்

• (G, *) லிருந்து (H, $\odot$) க்குள்ள சம அமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) எப்பொழுதும் {e_G} ஆக இருக்கும். இங்கு e_G, (G, *) குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு.
• (G, *) , (H,$\odot$) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது G ஏபெல் குலமாக இருந்தால் H ம் ஏபெல் குலமாக இருக்கும்.
• (G, *) , (H, $\odot$) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது (f), G இன் ஒரு உறுப்பு a இன் வரிசை n எனில், H இல் f(a) இன் வரிசையும் n ஆக இருக்கும்.
• (G, *) இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமெனில் (locally finite group) அதனுடன் சமஅமைவியம் கொண்ட (H, $\odot$) ம் இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமாக இருக்கும்
• குலத்தின் பண்புகள் எப்பெழுதும் சம அமைவியத்தின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகின்றன என்பதை மேலே தரப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் அறியலாம்.

சுழற் குலங்கள்

தரப்பட்ட கிரமமுள்ள அனைத்து சுழற் குலங்களும் $(\mathbb {Z} _{n},+_{n})$ உடன் சமஅமைவியம் கொண்டவை.

நிறுவல்

G , n கிரம குலம் என்க. G ஐப் பின்வரும் பிறப்பிக்கப்பட்ட குலமாகக் கொள்ளலாம்.

$<x>=\{e,x,...,x^{n-1}\}$.

$\varphi$ எனும் சார்பு கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$\varphi :G\rightarrow \mathbb {Z} _{n}=\{0,1,...,n-1\},$ :$\varphi (x^{a})=a$.

இச்சார்பு இருவழிக்கோப்பாக உள்ளது.

$\varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+_{n}\varphi (x^{b})$

எனவே,

$G\cong \mathbb {Z} _{n},+_{n}$.

விளைவுகள்

$f:G\rightarrow H$ எனும் சமஅமைவியம், G இன் முற்றொருமை உறுப்புடன் H இன் முற்றொருமை உறுப்பை இணைக்கிறது:

$f(e_{G})=e_{H}$;

அதேபோல் G இல் உள்ள நேர்மாறு உறுப்பை H இல் அதற்கொத்த நேர்மாறு உறுப்புடன் இணைக்கிறது:

$f(u^{-1})=\left[f(u)\right]^{-1}$

பொதுவாக,

$f(u^{n})=\left[f(u)\right]^{n},\forall u\in G$

மேலும் f இன் நேர்மாறு $f^{-1}:H\rightarrow G$ ம் ஒரு குல சம அமைவியம்.

"சமஅமைவியமானது" என்ற உறவு, ஒரு சமான உறவிற்கான அனைத்து அடிக்கோள்களையும் நிறைவுசெய்கிறது.

$f:G\rightarrow H$ என்பது சமஅமைவியம் எனில் G இல் உண்மையாக அமையும் கூற்றுகளில் குல அமைப்புத் தொடர்பானவற்றை மட்டுமே f மூலம் H இல் அமையும் உண்மைக்கூற்றுகளாக மாற்றமுடியும் (அதேபோலத்தான் H லிருந்து G க்கும்).

தன்னமைவியம்

குலம் (G,*) லிருந்து (G,*) க்கே அமையும் சமஅமைவியம், தன்னமைவியம் எனப்படும் இத்தன்னமைவியம் பின்வரும் இருவழிக்கோப்பாகும்:

$f:G\rightarrow G,$

$f(u)*f(v)=f(u*v),\forall u,v\in G$.

தன்னமைவியமானது குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பை, முற்றொருமை உறுப்பாகவே மாற்றுகிறது; ஒரு இணையியப் பகுதியை அதே இணையியப் பகுதியாகவோ அல்லது வேறொரு இணையியப் பகுதியாகவோ மாற்றுகிறது; தன்னமைவியத்தின் கீழ் ஒரு உறுப்பின் கிரமமும் அதன் எதிருருவின் கிரமமும் சமமாக இருக்கும்.

இரு தன்னமைவியங்களின் சேர்ப்பும் மற்றொரு தன்னமைவியமாக இருக்கும். இச்செயலியின்கீழ் G குலத்தின் அனைத்து தன்னமைவியங்களின் கணம் ஒரு குலமாகும். இக்குலம் G இன் தன்னமைவியக் குலம் என அழைக்கப்படும். மேலும் அதன் குறியீடு: Aut(G).

மேற்கோள்கள்

• Herstein, I. N., Topics in Algebra, Wiley; 2 edition (June 20, 1975), ISBN 0-471-01090-1.