கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம்

வடிவவியலில், கோண இருசமவெட்டித் தேற்றமானது(Angle bisector theorem) முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் இரு சமவெட்டியானது அக்கோணத்திற்கு எதிரேயுள்ள பக்கத்தினை வெட்டுவதால் கிடைக்கும் கோட்டுத் துண்டுகளின் நீளங்களின் விகிதங்களைப்பற்றிக் கூறும் தேற்றமாகும். இத்தேற்றத்தின்படி அக்கோட்டுத் துண்டுகளின் நீளங்களின் விகிதம் முக்கோணத்தின் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

இப்படத்தில், BD:DC = AB:AC.

தேற்றம்

ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு கோணத்தின் உட்புற கோண இரு சம வெட்டியானது, அக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்தை உட்புறமாக அக்கோணத்தினை அடக்கிய பக்கங்களின் சம விகிதத்தில் பிரிக்கும்.

அதாவது முக்கோணம் $\triangle ABC$ -ஐ எடுத்துக் கொள்க.

• $\angle A$ -ன் இருசமவெட்டி, $\ BC$ பக்கத்தை $\ D$ புள்ளியில் வெட்டட்டும்.
• கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி, கோட்டுத் துண்டுகள் $\ BD$ மற்றும் $\ DC$ -ன் விகிதமானது, $\ AB$ மற்றும் $\ AC$ பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்:

${\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}.$

• பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி, $\ D$ புள்ளியானது பக்கம் $\ BC$ -ன் மீது அமைந்தால்(அ-து, AD கோண இருசமவெட்டியாக இருக்க வேண்டியதில்லை) :

${\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.$

• இதிலிருந்து, கோணம் $\angle BAC$ -ன் இருசமவெட்டியாக, $\ AD$ இருக்கும்போது முதலிலுள்ள தேற்றத்தைப் பெறலாம்.

நிறுவல்

• மேலேயுள்ள படத்தில், $\triangle ABD$ மற்றும் $\triangle ACD$ முக்கோணங்களுக்கு சைன் விதியைப் பயன்படுத்த:

${\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {\sin \angle BDA}{\sin \angle BAD}}$ ..... (சமன்பாடு 1)

${\frac {|AC|}{|DC|}}={\frac {\sin \angle ADC}{\sin \angle DAC}}$ ..... (சமன்பாடு 2)

• கோணங்கள் $\angle BDA$ மற்றும் $\angle ADC$ இரண்டும் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள். எனவே அவற்றின் சைன் மதிப்புகள் சமம்.
• கோணங்கள் $\angle BAD$ மற்றும் $\angle DAC$ இரண்டும் சமமானவை.
• எனவே சமன்பாடுகள் (1), (2) -ன் வலதுகைப் பக்கங்கள் சமம். ஆகவே அவற்றின் இடதுகைப் பக்கங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும்:

${\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {|AC|}{|DC|}}$

எனவே, கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.

கோட்டுத்துண்டு $\ AD$ கோண இருசமவெட்டி இல்லையென்றால்

• கோணங்கள் $\angle BAD$ மற்றும் $\angle DAC$ இரண்டும் சமமில்லை.
• சமன்பாடுகள் (1), (2) இரண்டையும் பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்:

${{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD=\sin \angle BDA}$

${{\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC=\sin \angle ADC}$

கோணங்கள் $\angle BDA$ மற்றும் $\angle ADC$ இரண்டும் இப்பொழுதும் மிகைநிரப்பு கோணங்கள். எனவே இரு சமன்பாடுகளின் வலதுபுறங்களும் சமம். ஆகவே இடதுபுறங்களும் சமமாக அமையும்:

${{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD={\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC}$

இது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தேற்றத்தை நிறுவுகிறது.

நிறுவல்-மாற்றுமுறை

• $\triangle ABD$ -க்கு, உச்சி $\ B$ வழியே வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் அடி B₁ என்க. $\triangle ACD$ -க்கு, உச்சி $\ C$ வழியே வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் அடி C₁ என்க.
• $\triangle$ DB₁B மற்றும் $\triangle$ DC₁C இரண்டும் செங்கோண முக்கோணங்கள்.
• $\ D$ புள்ளியானது கோட்டுத்துண்டு $\ BC$ -ன் மேல் இருந்தால், கோணங்கள் $\angle$B₁DB மற்றும்

$\angle$C₁DC இரண்டும் சர்வசமமாகவும்

• $\ D$ புள்ளியானது கோட்டுத்துண்டு $\ BC$ -ன் மேல் இல்லையெனில் அவ்விரு கோணங்களும் முற்றுமொத்தவையாகவும் அமையும்.
• எனவே முக்கோணங்கள், $\triangle$DB₁B மற்றும் $\triangle$ DC₁C இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்களாகும் (AAA).

${\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}}.$

எனவே பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது.

வெளி இணைப்புகள்

• A Property of Angle Bisectors at cut-the-knot
• Proof of angle bisector theorem at PlanetMath
• Another proof of angle bisector theorem at PlanetMath