சதுர முக்கோண எண்

கணிதத்தில் சதுர முக்கோண எண் அல்லது வர்க்க முக்கோண எண் (Square triangular number) என்பது முக்கோண எண் மற்றும் சதுர எண்ணாகவும் (முழு வர்க்கம்) உள்ள ஒரு வடிவ எண்ணாகும். சதுர முக்கோண எண்ணை முக்கோண சதுர எண் எனவும் அழைக்கலாம். எண்ணிலடங்கா சதுர முக்கோண எண்கள் உள்ளன. அவற்றுள் முதலிலுள்ள சில:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 (OEIS-இல் வரிசை A001110)

.

வாய்ப்பாடுகள்

k -ஆம் சதுர முக்கோண எண், $N_{k}\,$ என்க. இதற்குரிய சதுரம் மற்றும் முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் முறையே $s_{k}\,$, $t_{k}\,$ எனில்:

$N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.\,$

$N_{k}\,$, $s_{k}\,$, $t_{k}\,$ தொடர் வரிசைகள் முறையே, OEIS தொடர் வரிசைகளான A001110, A001109, மற்றும் A001108 ஆகும்.

சதுர முக்கோண எண்கள் காண 1778 -ல் ஆய்லர் உருவாக்கிய வாய்ப்பாடு:

$N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.\,$

இவ்வாய்ப்பட்டையே வேறுவிதமாக மாற்றியமைக்கக் கிடைப்பது:

${\begin{aligned}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}\right)^{2}={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}})^{4k}\right)\\&={1 \over 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2}})^{k}\right).\end{aligned}}$

இதற்குரிய $s_{k}\,$ மற்றும் $t_{k}\,$ காணும் வாய்ப்பாடுகள்:

$s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}$

$t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4}}.$

பெல்லின் சமன்பாடு

சதுர முக்கோண எண்களைக் காணும் முறையானது பெல்லின் சமன்பாடாகப் (Pell's equation) பின்வருமாறு மாற்றமடைகிறது:

ஒரு முக்கோண எண்ணின் வடிவம்:

${\frac {t(t+1)}{2}}.$

இந்த எண் சதுர எண்ணாகவும் இருந்தால்

${\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.$ என்றபடி ஒரு $s,$ இருக்க வேண்டும்.

இதை சற்றே மாற்றியமைக்க:

$(2t+1)^{2}=8s^{2}+1,$

$x=(2t+1)$; $y=2s,$ எனப் பிரதியிட:

$x^{2}-2y^{2}=1$

இச்சமன்பாடு ஒரு பெல்லின் சமன்பாடாகும். இச்சமன்பாடு பெல் எண்களான P_k மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது.

$x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};$

ஃ $s_{k}={\frac {P_{2k}}{2}},\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}.$

மீள்வரு தொடர்புகள்

சதுர முக்கோண எண்கள், அவற்றுக்குரிய சதுரம் மற்றும் முக்கோணங்களின் பக்கங்களுக்கான மீள்வரு தொடர்பு:

$N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,\,$ $N_{0}=0\,$ மற்றும் $N_{1}=1.\,$

$N_{k}=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},\,$ $N_{0}=1\,$ மற்றும் $N_{1}=36.\,$

$s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2},\,$ $s_{0}=0\,$ மற்றும் $s_{1}=1;\,$

$t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,\,$ $t_{0}=0\,$ மற்றும் $t_{1}=1.\,$

பிற பண்புகள்

சதுர முக்கோண எண்கள் எண்ணற்றவை என்பதற்கான நிறுவலை எ. வி. சில்வெஸ்டர் தந்துள்ளார்: n(n+1)/2 என்ற முக்கோண எண் ஒரு வர்க்கம் எனில் மிகப்பெரிய முக்கோண எண்ணும் அவ்வாறே வர்க்கமாக அமையும்:

${\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=2^{2}\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,(2n+1)^{2}.$

ஒரு சதுர முக்கோண எண்ணைப் பிறப்பிக்கும் சார்பு:

${\frac {1+z}{(1-z)(z^{2}-34z+1)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots .$

எண் தரவு

k -ன் மதிப்பு அதிகமாக அதிகமாக t_k / s_k விகிதம் ${\sqrt {2}}\approx 1.41421$ -யும் தொடர்ந்து அமையும் இரு சதுர முக்கோண எண்களின் விகிதம் $17+12{\sqrt {2}}\approx 33.97056$ -யும் நெருங்கும்..

${\begin{array}{rrrrll}k&N_{k}&s_{k}&t_{k}&t_{k}/s_{k}&N_{k}/N_{k-1}\\0&0&0&0&&\\1&1&1&1&1&\\2&36&6&8&1.33333&36\\3&1\,225&35&49&1.4&34.02778\\4&41\,616&204&288&1.41176&33.97224\\5&1\,413\,721&1\,189&1\,681&1.41379&33.97061\\6&48\,024\,900&6\,930&9\,800&1.41414&33.97056\\7&1\,631\,432\,881&40\,391&57\,121&1.41420&33.97056\\\end{array}}$

வெளி இணைப்புகள்

• Triangular numbers that are also square at cut-the-knot
• Weisstein, Eric W., "Square Triangular Number", MathWorld.