சமச்சரிவு இடைக்கோடு

வடிவவியலில் சமச்சரிவு இடைக்கோடுகள் அல்லது சமச்சரிவு நடுக்கோடுகள் (symmedians) என்பவை முக்கோணத்துடன் தொடர்புடைய மூன்று கோடுகள் ஆகும். ஒரு முக்கோணத்தின் இடைக்கோட்டினை (முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சியையும் அந்த உச்சிக்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் நடுப்புள்ளியையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டு) அதனுடன் ஒத்த கோண இருசமவெட்டியில் (முக்கோணத்தின் அதே உச்சிக் கோணத்தை இருசமக்கூறிடும் கோடு) எதிரொளிக்கக் கிடைக்கும் எதிருருக் கோடானது, ஒரு சமச்சரிவு இடைக்கோடு ஆகும். சமச்சரிவு இடைக்கோட்டிற்கும் உச்சிக்கோண இருசமவெட்டுக்கும் இடைப்பட்ட கோணமானது, இடைக்கோட்டிற்கும் உச்சிக்கோண இருசமவெட்டிக்குக் இடைப்பட்ட கோணத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். இடைக்கோடு, சமச்சரிவு இடைக்கோடு இரண்டும் உச்சிக்கோண இருசமவெட்டிக்கு இருபுறத்திலும் அமைகின்றன. மூன்று சமச்சரிவு இடைக்கோடுகளும் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கின்றன. அவை சந்திக்கும் புள்ளியானது சமச்சரிவு இடைக்கோட்டுச் சந்தி (symmedian point) என அழைக்கப்படுகிறது. முக்கோணத்தின் மையங்களுள் இப்புள்ளியும் ஒன்றாகும்.

சமகோணத்தன்மை

ஒரு முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் வழியாக வரையப்படும் மூன்று விழுகோடுகளுக்கு, அவற்றின் ஒத்த உச்சிக்கோண இருசமவெட்டிகளில் எதிரொளிப்புக் கோடுகள், சமகோணக் கோடுகளாக இருக்கும். மூன்று விழுகோடுகளும் P என்ற புள்ளியில் சந்தித்தால், அவற்றின் சமகோணக் கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியானது P இன் சமகோண இணையியமாக இருக்கும்.

மேலுள்ள படத்தில்,

இடைக்கோடுகள் (நீல நிறம்) சந்திக்கும் புள்ளி G (இடைக்கோட்டுச் சந்தி).
இடைக்கோடுகளின் சமகோணக் கோடுகளான சமச்சரிவு இடைக்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி K சமச்சரிவு இடைக்கோட்டுச் சந்தி).
G இன் சமகோண இணையியமாக K இருக்கும்.

சமச்சரிவு இடைக்கோட்டுச்சந்தி

மூன்று சமச்சரிவு இடைக்கோடுகளும் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கின்றன. அவை சந்திக்கும் புள்ளியானது சமச்சரிவு இடைக்கோட்டுச் சந்தி என அழைக்கப்படுகிறது.

முக்கோண மையங்களின் கலைக்களஞ்சியத்தில் சமச்சரிவு இடைக்கோட்டுச்சந்தியானது ஆறாவது இடத்தில் உள்ளது X(6).^[1]
பக்கநீளங்கள் a, b , c கொண்ட முக்கோணத்தின் சமச்சரிவு இடைக்கோட்டுச் சந்தியின் ஒரேபடித்தான முக்கோட்டு ஆட்கூறுகள்: [a : b : c].^[1]
ஒரு முக்கோணத்தின் கெர்கோன் புள்ளியானது, அம்முக்கோணத்தின் உட்தொடு முக்கோணத்தின் சமச்சரிவு இடைக்கோட்டுச்சந்தியாக இருக்கும்.^[2]

வரலாறு

ஒரு முக்கோணத்தில் சமச்சரிவு இடைக்கோட்டுச்சந்தி என்ற புள்ளி இருப்பதை 1873இல் பிரெஞ்சுக் கணிதவியலாளர் எமீல் லெமாய்ன் (Émile Lemoine) நிறுவினார். இப்புள்ளி குறித்த ஆய்வு 1847 இல் கணிதவியலாளர் எர்ன்ஸ்ட் வில்லெம் கிரீபால் (Ernst Wilhelm Grebe) வெளியிடப்பட்டது. 1809 இல் சைமன் அந்துவான் ழான் லா ஊயிலியே என்ற கணிதவியலாளரும் (Simon Antoine Jean L'Huilier) இப்புள்ளி குறித்து குறிப்பிட்டுள்ளார்.^[3]

மேற்கோள்கள்

↑ ^1.0 ^1.1 Encyclopedia of Triangle Centers, accessed 2014-11-06.
↑ Beban-Brkić, J.; Volenec, V.; Kolar-Begović, Z.; Kolar-Šuper, R. (2013), "On Gergonne point of the triangle in isotropic plane", Rad Hrvatske Akademije Znanosti i Umjetnosti, 17: 95–106, MR 3100227.
↑ Honsberger, Ross (1995), "Chapter 7: The Symmedian Point", Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, Washington, D.C.: Mathematical Association of America.

Bradley, Christopher J.; Smith, Geoff C. (2006), "The locations of triangle centers", Forum Geometricorum, 6: 57–70

வெளியிணைப்புகள்

Symmedian and Antiparallel at cut-the-knot
Symmedian and 2 Antiparallels at cut-the-knot
Symmedian and the Tangents at cut-the-knot
An interactive Java applet for the symmedian point பரணிடப்பட்டது 2008-06-07 at the வந்தவழி இயந்திரம்
Weisstein, Eric W., "Symmedian Point", MathWorld.
Isogons and Isogonic Symmetry பரணிடப்பட்டது 2013-10-23 at the வந்தவழி இயந்திரம்

[etc-1] 1.0 ^1.1 Encyclopedia of Triangle Centers, accessed 2014-11-06.

[2] Beban-Brkić, J.; Volenec, V.; Kolar-Begović, Z.; Kolar-Šuper, R. (2013), "On Gergonne point of the triangle in isotropic plane", Rad Hrvatske Akademije Znanosti i Umjetnosti, 17: 95–106, MR 3100227.

[h-3] Honsberger, Ross (1995), "Chapter 7: The Symmedian Point", Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, Washington, D.C.: Mathematical Association of America.

[1]

[2]

[3]