சிம்சன் கோடு

வடிவவியலில், ABC முக்கோணத்தின் சுற்று வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி P எனில் அப்புள்ளிக்கு மிக அருகாமையில், AB, AC, BC ஆகிய மூன்று கோடுகளின் மீது அமையும் மூன்று புள்ளிகளும் நேர்கோட்டமைபவையாக இருக்கும்.^[1] இந்த மூன்று புள்ளிகளின் வழியாகச் செல்லும் கோடு, P புள்ளியின் சிம்சன் கோடு (Simson line) ஆகும். இக்கோடு இசுக்காட்டுலாந்து கணிதவியலாளர் இராபர்ட்டு சிம்சன் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.^[2] இருப்பினும், இசுக்காட்டுலாந்து கணிதவியலாளரும் வானிலையாளருமான வில்லியம் வாலசுதான் இக்கருத்துருவை முதன்முதலாக 1799 இல் வெளியிட்டார்.^[3]

இதன் மறுதலையும் உண்மையாகும்.

P புள்ளிக்கு மிக அருகில் மூன்று கோடுகளின் மீதமையும் புள்ளிகள் மூன்றும் ஒரே கோட்டிலமைவதோடு, மூன்று கோடுகளில் எந்த இரண்டும் இணையான கோடுகள் இல்லையெனில், அம்மூன்று கோடுகளால் அமையும் முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மீது புள்ளி P அமையும்.

இருத்தலை நிறுவல்

$L,M,N$ புள்ளிகள் மூன்றும் நேர்கோட்டமைபவை என நிறுவுவதற்கு $\angle NMP+\angle PML=180^{\circ }$ எனக் காட்ட வேண்டும்.

நிறுவல்: படத்தில் தரவுகளின் படி, $PCAB$ ஒரு வட்ட நாற்கரம்

$\angle PBA+\angle ACP=180^{\circ }$ (வட்ட நாற்கரத்தில் எதிர்கோணங்களின் கூடுதல் $180^{\circ }$ )
$\angle PBN+\angle ACP=180^{\circ }$ ( $\angle PBA=\angle PBN$ )
$PMNB$ ஒரு வட்ட நாற்கரமாகும். (தேலேசுத் தேற்றம்)
$\angle PBN+\angle NMP=180^{\circ }$ . (வட்ட நாற்கரத்தில் எதிர்கோணங்களின் கூடுதல் $180^{\circ }$ )
$\angle NMP=\angle ACP$ . (படி 2, 4)
$PLCM$ ஒரு வட்ட நாற்கரம்
$\angle PML=\angle PCL$ ( உள்வரை கோணத் தேற்றம்
$\angle PCL=180^{\circ }-\angle ACP$ . (மிகைநிரப்பு கோணங்கள்)
$\angle PML=180^{\circ }-\angle ACP$ (படி 7, 8)
$\therefore \angle NMP+\angle PML=\angle ACP+(180^{\circ }-\angle ACP)=180^{\circ }$

எனவே $L,M,N$ புள்ளிகள் மூன்றும் நேர்கோட்டமைபவை என்பது நிறுவப்படுகிறது.

பண்புகள்

முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சியின் சிம்சன் கோடு, அவ்வுச்சியிலிருந்து முக்கோணத்திற்கு வரையப்படும் குத்துக்கோடாகும். மேலும் அவ்வுச்சியின் எதிரடிப்புள்ளியின் (விட்டவாக்கில் எதிர் புள்ளி) சிம்சன் கோடானது, அந்த உச்சிக்கு எதிர்ப்பக்கமுள்ள முக்கோணத்தின் பக்கமாக இருக்கும்.
முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மீதுள்ள இரு புள்ளிகள் P, Q எனில், அவற்றின் சிம்சன் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தின் அளவு, PQ வில்லின் கோணத்தில் பாதியாக இருக்கும். இவ்விரு புள்ளிகளும் விட்டவாக்கில் எதிரெதிராக இருந்தால் அவற்றின் சிம்சன் கோடுகள் செங்குத்தானவையாகவும் அவை வெட்டும் புள்ளியானது முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மீதும் இருக்கும்.
ABC முக்கோணத்தின் [[குத்துக்கோடு (முக்கோணம்)|செங்கோட்டு மையம் H எனில், P இன் சிம்சன் கோடானது PH கோட்டை இருசமக்கூறிடும். அவ்வாறு இருசமக்கூறிடும் புள்ளி ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மீதமையும்.
இரு முக்கோணங்கள் ஒரே சுற்றுவட்டமுடையவையாக இருந்தால், P புள்ளியின் இரு சிம்சன் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணமானது P இன் நிலையைச் சார்ந்திருக்காது.
குறைந்தது 5 பக்கங்களுடைய எந்தவொரு குவிவு பல்கோணத்திற்கும் சிம்சன் கோடு கிடையாது.^[4]

சிக்கலெண் தளத்தில்

முக்கோணத்தை சிக்கலெண் தளத்தில் எடுத்துக்கொள்ள, அலகு சுற்றுவட்டம் கொண்ட ABC முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் சிக்கலெண் ஆயதொலைகள் a, b, c; சுற்றுவட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு P புள்ளியின் ஆயதொலைவு p எனில் இப்புள்ளியின் சிம்சன் கோடானது கீழுள்ள சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் புள்ளிகளாலான (z) கணமாகும்:^[5]^{:Proposition 4}

2abc{\bar {z}}-2pz+p^{2}+(a+b+c)p-(bc+ca+ab)-{\frac {abc}{p}}=0,

${\bar {z}},$ என்பது $z$ இன் இணைச் சிக்கலெண்.

மேற்கோள்கள்

↑ H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, Geometry revisited, Math. Assoc. America, 1967: p.41.
↑ "Gibson History 7 - Robert Simson". 2008-01-30. Archived from the original on 2016-10-09. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2022-05-19.
↑ "http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Wallace.html". Archived from the original on 2018-10-01. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2022-05-19. {{cite web}}: External link in |title= (help)
↑ Tsukerman, Emmanuel (2013). "On Polygons Admitting a Simson Line as Discrete Analogs of Parabolas" (PDF). Forum Geometricorum 13: 197–208. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201321.pdf.
↑ Todor Zaharinov, "The Simson triangle and its properties", Forum Geometricorum 17 (2017), 373--381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf

வெளியிணைப்புகள்

Simson Line at cut-the-knot.org
F. M. Jackson and Weisstein, Eric W., "Simson Line", MathWorld.
A generalization of Neuberg's theorem and the Simson-Wallace line at Dynamic Geometry Sketches, an interactive dynamic geometry sketch.

[1] H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, Geometry revisited, Math. Assoc. America, 1967: p.41.

[2] "Gibson History 7 - Robert Simson". 2008-01-30. Archived from the original on 2016-10-09. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2022-05-19.

[3] "http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Wallace.html". Archived from the original on 2018-10-01. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2022-05-19. {{cite web}}: External link in |title= (help)

[4] Tsukerman, Emmanuel (2013). "On Polygons Admitting a Simson Line as Discrete Analogs of Parabolas" (PDF). Forum Geometricorum 13: 197–208. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201321.pdf.

[TZ-5] Todor Zaharinov, "The Simson triangle and its properties", Forum Geometricorum 17 (2017), 373--381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]