தொடரும் பின்னம்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

தொடர்பின்னங்கள் பல நூற்றாண்டுகளாக கணித உலகத்தில் தட்டுப்பட்டுக் கொண்டிருந்தாலும், 17, 18 வது நூற்றாண்டில் தான் ஒரு சீரடைந்த கோட்பாடாகப் புழங்கத்தொடங்கியது. [[யூக்லீடின் அல்காரிதம்]] என்று பெயர் பெற்ற செயல் முறை தொடர் பின்னத்தின் மறு அவதாரம் தான். ஆனால் அந்தக் காலத்தில் [[யூக்ளிட்|யூக்லீடோ]] அல்லது வேறு எவரோ அதை அந்த நோக்கில் பார்த்ததாகத் தெரியவில்லை. 6வது நூற்றாண்டில் இருந்த இந்தியக் கணித வல்லுனர் [[ஆரியபட்டர்]], [[தேரவியலா சமன்பாடுகள்|தேரவியலா சமன்பாடுகளை ]] (Indeterminate Equations)விடுவிக்க தொடர்பின்னங்களைதொடர் பின்னங்களை வெகுவாக பயன்படுத்தினார். 1695 இல் தொடர்பின்னங்களைதொடர் பின்னங்களை ஒரு கோட்பாடாக எழுதின [[ஜான் வல்லிஸ்]] என்பவர் தான் தொடர்பின்னம்தொடர் பின்னம் என்ற பெயரையும் அதையொட்டி '''ஒருங்குகள்''' என்ற கருத்தையும் அறிமுகப்படுத்தினார். பிற்பாடு [[ஆய்லர்]] (1707-1783), [[லாம்பர்ட்]] (1728 -1777), மற்றும் [[லக்ராஞ்சி]] (1736-1813) முதலியோர் தொடர்பின்னங்களைதொடர் பின்னங்களை ஆழமாக ஆய்வுசெய்தனர். இதையெல்லாம் பார்க்காமலேயே இருபதாவது நூற்றாண்டில் இந்தியக்கணிதஇந்தியக் கணித மேதை [[இராமானுசன்|ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜன்]](1887 - 1920) எண் கோட்பாட்டில் தொடர்பின்னங்களைதொடர் பின்னங்களை மூட்டை மூட்டையாகப் பயன்படுத்திய விந்தையை இன்னும் உலகக்கணிதஉலகக் கணித வல்லுனர்கள் அலசிக்கொண்டிருக்கிறார்கள்அலசிக் கொண்டிருக்கிறார்கள்.

தொடர்பின்னங்களைப்பற்றியதொடர் பின்னங்களைப்பற்றிய ஒரு அரிச்சுவடியை[http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html]வலையில் பார்க்கலாம். தொடர்பின்னங்கள்தொடர் பின்னங்கள் முடிவுற்றதாகவும் இருக்கலாம், முடிவற்றதாகவும் இருக்கலாம்.

தொடர்பின்னங்களைதொடர் பின்னங்களை எழுதும் முறையில் சுறுக்கு வழிகள் உள்ளன. மேலே காட்டப்பட்ட (*) குறியிட்ட தொடர்பின்னத்தை

(**) குறியிட்ட தொடர்பின்னத்தைதொடர் பின்னத்தை

இம்மாதிரி விகிதமுறா எண்களின் தொடர்பின்னங்களின் சிறப்பு என்னவென்றால் அவைகளின் ஒருங்குகள் அவ்வெண்ணின் மதிப்புக்கு ஒரு தோராயமாகும். தொடரும் பின்னத்தில் எவ்வளவு உறுப்புகள் எடுத்தால் தோராயத்தின் துல்லியம் எவ்வளவு இருக்கும் என்பதை கணக்கிடுவது ஒரு அவசியமான ஆய்வு. மேலே இருக்கும் நான்கு தொடர்பின்னங்களைப் பார்க்கும்போது சாதாரணமாக எல்லா எண்களும் சிறியதாகத்தான் இருக்கின்றன. இங்குமங்கும் சில பெரிய எண்கள் தட்டுப்படுகின்றன. ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜனுக்கு தொடர்பின்னங்கள் விளையாட்டுப் பொருள்கள் போலவே இருந்தன.அவர் தான் இதற்கு ஒரு தந்திரம் சொன்னார். தொடர்பின்னத்தின்தொடர் பின்னத்தின் எண்களில், எங்கு ஒரு பெரிய எண் திடீரென்று தட்டுப்படுகிறதோ அந்த உறுப்புக்கு முன் உறுப்பு வரையில் ஒருங்கு கணித்தால் தோராயத்தின் துல்லியம் உண்மை மதிப்புக்கு வெகு அருகாமையிலேயே இருக்கும் என்பது அவருடைய உள்ளுணர்வு.