இயல் எண்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
சி பராமரிப்பு using AWB |
|||
வரிசை 11:
| accessdate = 4 October 2014
}}
</ref><ref>{{harvtxt|Carothers|2000}} says: "ℕ is the set of natural numbers (positive integers)" (p. 3)</ref><ref name="Mac Lane & Birkhoff 1999 p15">{{harvtxt|Mac Lane|Birkhoff|1999}} include zero in the natural numbers: 'Intuitively, the set {{math|ℕ {{=}} {{mset|0, 1, 2, ...}}}} of all ''natural numbers'' may be described as follows: {{math|ℕ}} contains an "initial" number 0; ...'. They follow that with their version of the Peano Postulates. (p. 15)</ref> முந்தைய [[வரைவிலக்கணம்]] [[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டிலும்]], பிந்தையது [[கணக் கோட்பாடு|கணக் கோட்பாட்டிலும்]] [[கணினி]] [[அறிவியல்|அறிவியலி]]லும் விரும்பப்படுகிறது.
இயல் எண்களின் கணத்தை <math>\mathbb{N}</math> என்று குறிப்பிடுவது வழக்கம். அதாவது
வரிசை 21:
இயலெண்களை அடிப்படையாகக் கொண்டு அதன் நீட்சியாக ஏனைய எண்கள் வரையறுக்கப்படுகின்றன:
*இயலெண்களோடு [[முற்றொருமை உறுப்பு]] 0 ஐயும் ஒவ்வொரு இயலெண்ணின் (''n'') [[
*இவற்றுடன் [[விகிதமுறா எண்கள்]] சேரும்போது மெய்யெண்கள் கிடைக்கின்றன.
*மெய்யெண்களோடு [[கற்பனை அலகு|-1 இன் வர்க்கமூலம்]] சேர்க்கப்படுபோது [[சிக்கலெண்]]கள் பெறப்படுகின்றன.<ref>{{harvtxt|Mendelson|2008}} says: "The whole fantastic hierarchy of number systems is built up by purely set-theoretic means from a few simple assumptions about natural numbers." (Preface, p. x)</ref><ref>{{harvtxt|Bluman|2010}}: "Numbers make up the foundation of mathematics." (p. 1)</ref>
இச்சங்கிலித் தொடர் நீட்சிகளால் பிற எண்களுக்குள் உட்பொதிவாக இயலெண்கள் அமைகின்றன.
வரிசை 35:
:ℕ<sup>*</sup> = ℕ<sup>+</sup> = ℕ<sub>1</sub> = ℕ<sub>>0</sub> = {1, 2, …}.
மாறாக, நேர்ம முழுஎண்களிலிருந்து இயலெண்களை சுட்டெண் குறியீடு மூலம் வேறுபடுத்திக் காட்டலாம். ஆனால் இரு குறியீடுகளுமே பயன்படுத்தப்படுவதால் அந்தந்தச் சூழலைக் கொண்டே புரிந்து கொள்ளல் வேண்டும்.
:ℕ = {0, 1, 2, …}.
:ℤ<sup>+</sup>= {1, 2, …}.
வரிசை 44:
இயலெண்களில் [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூட்டல்]] [[செயல் (கணிதம்)|செயலை]]க் கீழ்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:
:{{math|''a'' + 0 {{=}} ''a''}}
:{{math|''a'' + ''S''(''b'') {{=}} ''S''(''a'' + ''b'')}} <math>\forall</math> {{math|''a''}}, {{math|''b''}}.
இதில் {{math|''S''}} என்பது ஒரு இயலெண்ணின் தொடரியெண்ணைக் குறிக்கிறது.
வரிசை 51:
:{{math|''S''(0)}} {{=}} "1" வரையறுக்கப்பட்டால்,
:{{math|''b'' + 1 {{=}} ''b'' + ''S''(0) {{=}} ''S''(''b'' + 0) {{=}} ''S''(''b'')}}.
அதாவது {{math|''b'' + 1}} என்பது {{math|''b''}} இன் தொடரி (அடுத்த எண்) ஆகும்.
வரிசை 58:
கூட்டல் வரையறையுடன் ஒத்ததாகப் [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கல்]] கீழ்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
:{{math|''a'' × 0 {{=}} 0}}
:{{math|''a'' × S(''b'') {{=}} (''a'' × ''b'') + ''a''}}.
இந்த வரையறையால் இயலெண்களின் கணம் {{math|(ℕ<sup>*</sup>, ×)}}, 1 ஐ பெருக்கல் சமனியாகக் கொண்ட பரிமாற்று ஒற்றைக்குலமாகிறது. இக்குலத்தின் பிறப்பாக்கி [[பகா எண்]]களின் கணமாகும்.
வரிசை 64:
=== கூட்டலுக்கும் பெருக்கலுக்குமான தொடர்பு ===
கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் ஒத்தியங்கும் தன்மை, [[பங்கீட்டுப் பண்பு|பங்கீட்டுப் பண்பால்]] விளங்கும்:
: {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}.
இப்பண்பினால் இயலெண்களின் கணம் ஒரு பரிமாற்று அரைவளையமாகும். இயலெண்களின் கணத்தில் [[கூட்டல் நேர்மாறு]] (எதிர்ம எண்கள்) கிடையாதென்பதால் இயலெண்களின் கணம் [[வளையம் (கணிதம்)|வளையமாக]] முடியாது; அது ஒரு அரைவளையம் மட்டுமே ஆகும்.
வரிசை 74:
இயலெண்களின் முழுவரிசைமுறையின் வரையறை:
:{{math|''a'' + ''c'' {{=}} ''b''}} என்றவாறு {{math|''c''}} என்ற இயலெண் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, {{math|''a'' ≤ ''b''}} ஆகும்.
இந்த வரிசைமுறை இயலெண்களில் எண்கணிதச் செயல்களோடு ஒத்தியங்கக் கூடியது:
| |||