சார்பகா முழுஎண்கள்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
No edit summary |
சி பராமரிப்பு using AWB |
||
வரிசை 1:
[[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டில்]], இரு [[முழு எண்]]களுக்கிடையே [[1 (எண்)|1]] மட்டுமே பொது [[வகுஎண்]]ணாக இருந்தால் அவை '''சார்பகா எண்கள்''' (''relatively prime'', ''mutually prime'', ''coprime'')<ref>Eaton, James S. Treatise on Arithmetic. 1872. May be downloaded from: http://archive.org/details/atreatiseonarit05eatogoog</ref> எனப்படும். அதாவது இரு சார்பாக எண்களின் [[மீப்பெரு பொது வகுத்தி|மீபொவ]] 1.<ref>{{cite book | author=G.H. Hardy | authorlink=G. H. Hardy | coauthors=E. M. Wright | title=An Introduction to the Theory of Numbers | edition=6th ed. | publisher=Oxford University Press | year=2008 | isbn=978-0-19-921986-5| page=6 }}</ref>
எடுத்துக்காட்டு:
14 , 15 -க்கு, 1ஐத் தவிர வேறு பொது வகுஎண் இல்லை; இவை சார்பகா எண்கள்; ஆனால் 14, 21 -க்கு, 1ஐத் தவிர [[7 (எண்)|7]] ஒரு பொது வகுத்தியாக உள்ளதால் இரண்டும் சார்பகா எண்கள் அல்ல.
''a'', ''b'' சார்பகா எண்கள் என்பதைக் குறிக்க, <math>\gcd(a, b) = 1\;</math>, <math>(a, b) = 1,\;</math> என்ற இரு குறியீடுகள் மட்டுமல்லாது, சிலசமயங்களில் <math>a\perp b</math> என்ற குறியீடும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.<ref>{{citation|first1=R. L.|last1=Graham|first2=D. E.|last2=Knuth|first3=O.|last3=Patashnik|title=Concrete Mathematics|publisher=Addison-Wesley|year=1989}}</ref>
வரிசை 9:
[[சுருக்கவியலாப் பின்னம்|சுருக்கப்பட்ட பின்னத்தின்]] [[பின்னம்|பகுதியும்]] [[பின்னம்|தொகுதியும்]] ஒன்றுக்கொன்று சார்பகா எண்களாக இருக்கும். எண்கள் 1ம், −1ம் ஒவ்வொரு முழுஎண்ணுடனும் சார்பகா எண்களாக இருக்கின்றன. மேலும், இவை மட்டுமே [[பூச்சியம்|0]]உடன் சார்பாக எண்களாக அமையும் முழுஎண்களாகும்.
இரு எண்கள் சார்பகா எண்களா என்பதை [[
சார்பகாத்தன்மை எண்களுக்கிடையே மட்டுமல்லாது, கணங்களிலும் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு [[கணம் (கணிதம்)|கணத்திலுள்ள]] உறுப்புகளுக்கிடையே 1ஐத் தவிர வேறு பொதுவகுத்திகள் இல்லாதிருந்தால் அக் கணம் ’சார்பகா கணம்’ (''coprime'') என்றும் அக் கணத்தின் உறுப்புகளாலான ஒவ்வொரு சோடி (''a'', ''b'') க்கும் ''a'' , ''b'' சார்பகா எண்களாக அமைந்தால் ’சோடிவாரியான சார்பகா கணம்’ (''pairwise coprime'') என்றும் அழைக்கப்படும்.
வரிசை 19:
*''a'' மற்றும் ''b'' ஐ எந்தவொரு [[பகா எண்]]ணும் வகுக்காது.
*''ax'' + ''by'' = 1 என்றவாறமையும் ''x'', ''y'' எனும் முழுஎண்களைக் காணலாம்.
*முழுஎண் ''b'' [[சமானம், மாடுலோ n|மாடுலோ]] ''a'' ஐப் பொறுத்து [[தலைகீழி|பெருக்கல் தலைகீழி]] உடையதாய் இருக்கும். அதாவது ''by'' ≡ 1 (mod ''a'') என்றவாறு, ''y'' எனும் முழுஎண்ணைக் காணலாம்.
மேலே தரப்பட்ட கூற்றுகளிலிருந்து பின்வரும் விளைவுகளைப் பெறலாம்:
வரிசை 32:
== கணங்களில் சார்பகாத்தன்மை ==
*''S'' = {''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, .... ''a''<sub>''n''</sub>} என்ற [[முழு எண்|முழுஎண்களாலான]] [[கணம் (கணிதம்)|கணத்தின்]] உறுப்புகள் அனைத்தின் மீபொவ 1ஆக இருந்தால் அது '''சார்பகாக் கணம்''' (''coprime'' அல்லது ''setwise coprime'') என்றழைக்கப்படுகிறது.
*முடிவுறு அல்லது முடிவுறா முழு எண்கள் கணத்தின் உறுப்புகளில், ஒவ்வொரு சோடியும் சார்பகா எண்களாக இருந்தால், அக் கணம் '''சோடிவாரியான சார்பகா கணம்''' (''pairwise coprime'') என்றழைக்கப்படுகிறது.
ஒரு சோடிவாரியான சார்பகா கணமானது, சார்பகா கணமாகவும் இருக்கும்; ஆனால் ஒரு சார்பகா கணமானது, சோடிவாரியான சார்பகா கணமாகாது.
எடுத்துக்காட்டாக,
வரி 50 ⟶ 49:
''a'', ''b'' என்ற இரு எண்களுக்கு பொதுப் பகாஎண் வகுஎண் இல்லாமல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அந்த இருஎண்களும் சார்பகா எண்களாக இருக்கும் என்ற கூற்றைப் பயன்படுத்தி, அவை சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காணலாம்.
எந்தவொரு எண்ணும் <math>p</math> என்ற பகாஎண்ணால் வகுபடுவதற்கான நிகழ்தகவு <math>1/p</math> (எடுத்துக்காட்டாக, முழுஎண்களின் வரிசையில் ஒவ்வொரு ஏழாவது எண்ணும் ஏழால் வகுபடும்). எனவே எடுத்துக்கொள்ளப்படும் எந்த இரு எண்களும்
:பகாஎண் ''p'' ஆல் வகுபடுவதற்கான நிகழ்தகவு:
:<math>1/p^2</math>;
:குறைந்தபட்சம் ஒன்றாவது ''p'' ஆல் வகுபடாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு:
:<math>1-1/p^2</math>.
எனவே இரு எண்கள் சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு:
: <math>\prod_{\text{prime } p} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = \left( \prod_{\text{prime } p} \frac{1}{1-p^{-2}} \right)^{-1} = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 0.607927102 \approx 61\%.</math>
வரி 63 ⟶ 62:
<math>{\zeta}</math> என்பது [[ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்]]
ஒவ்வொரு நேர் முழுஎண் ''N'' க்கும் <math>\{1,2,\ldots,N\}</math> -லிருந்து சமவாய்ப்புமுறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இரு எண்கள் சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு ''P''<sub>''N''</sub>. ''P''<sub>''N''</sub> இன் மதிப்பு மிகச் சரியாக <math>6/\pi^2</math> க்குச் சமமாக இருக்காது என்றாலும் <math>N \to \infty</math> எனும்போது நிகழ்தகவு <math>P_N</math> ஆனது <math>6/\pi^2</math>ஐ நெருங்கும் என்பதை நிறுவமுடியும்.<ref>This theorem was proved by Ernesto Cesàro in 1881. For a proof, see {{cite book | author=G.H. Hardy | authorlink=G. H. Hardy | coauthors=E. M. Wright | title=An Introduction to the Theory of Numbers | edition=6th ed. | publisher=Oxford University Press | year=2008 | isbn=978-0-19-921986-5}}, theorem 332.</ref>
சமவாய்ப்புமுறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ''k'' முழுஎண்கள் சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 1/''ζ''(''k'').
| |||