டார்பூக்சின் வாய்பாடு

கணிதத்தின் பகுவியலில், டார்பூக்சின் வாய்பாடு (Darboux's formula) என்பது தொகையீடுகளைக் கொண்டு,தொடர்களின் கூட்டுகை காண்பதற்கும், முடிவிலாத் தொடர்களைக் கொண்டு தொகையீடுகளைக் காண்பதற்கும் பயன்படுகிறது. 1876 இல் பிரெஞ்சுக் கணிதவியலாளர் ஜீன் காஸ்டன் டார்பூக்சால், இவ்வாய்பாடு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. சிக்கலெண் தளத்திலும் பயன்படுவகையில் ஆய்லர்-மெக்லாரின் வாய்பாட்டைப் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுப் பெறப்பட்டதே டார்பூக்சின் வாய்பாடாகும். இவ்வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, நுண்கணிதத்திலிருந்து டெய்லர் தொடரைப் பெறமுடியும்.

கூற்று

φ(t) என்பது n படியுள்ளதொரு பல்லுறுப்புக்கோவை; மேலும், f ஒரு பகுமுறைச் சார்பு எனில்:

${\begin{aligned}&\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}(z-a)^{m}\left[\varphi ^{(n-m)}(1)f^{(m)}(z)-\varphi ^{(n-m)}(0)f^{(m)}(a)\right]\\={}&(-1)^{n}(z-a)^{n+1}\int _{0}^{1}\varphi (t)f^{(n+1)}\left[a+t(z-a)\right]\,dt.\end{aligned}}$

தொடர்ந்த பகுதி தொகையிடல்கள் மூலம் இவ்வாய்பாட்டை நிறுவலாம்.

சிறப்பு வகைகள்

• டார்பூக்சின் வாய்பாட்டில் φ ஐ ஒரு பெர்னூலியின் பல்லுறுப்புக்கோவையாகக் கொண்டால் ஆய்லர்-மெக்லாரின் வாய்பாடு கிடைக்கப்பெறும்.
• φ ஐ, (t − 1)ⁿ என எடுத்துக்கொண்டால் டெய்லர் தொடர் கிடைக்கும்.

மேற்கோள்கள்

• Darboux (1876), "Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 3 (II): 291–312
• Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "A Formula Due to Darboux." §7.1 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 125, 1990. [1]

வெளியிணைப்புகள்

• Darboux's formula at MathWorld