பகுமுறைச் சார்பு

கணிதத்தில், ஒரு பகுமுறைச் சார்பு என்பது ஒருங்கும் அடுக்குத் தொடராகவுள்ள சார்பு ஆகும். மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்புகளும் சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்புகளும் உள்ளன. இவ்விரு வகையான பகுமுறைச் சார்புகளும் முடிவிலாமுறைகள் வகையிடத்தத் தக்கவை. மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்புகளுக்கு இல்லாத பண்புகள் சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்புகளுக்கு உண்டு. ஒரு சார்பின் $x_{0}$ இல் அமையும் அதன் டெய்லர் தொடரானது, சார்பின் ஆட்களத்திலுள்ள ஒவ்வொரு $x_{0}$ இன் அண்மையகங்களில் அச்சார்பாக ஒருங்கினால், ஒருங்கினால் மட்டுமே அச்சார்பானது பகுமுறைச் சார்பாக இருக்கும்.

வரையறைகள் தொகு

மெய்யெண் கோட்டிலமைந்த ஒரு திறந்த கணம் $D$ இலுள்ள ஏதேனுமொரு $x_{0}\in D$ இல் சார்பு $f$ பகுமுறைச் சார்பாக இருந்தால் கீழுள்ளவாறு எழுதலாம்:

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots

இதில் குணகங்கள் $a_{0},a_{1},\dots$ மெய்யெண்கள்; மேலும் $x_{0}$ இன் அண்மையகத்திலுள்ள $x$ க்கு இத் தொடர் $f(x)$ ஆக ஒருங்கும்.

ஒரு மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்பை அதன் ஆட்களத்திலுள்ள எந்தவொரு $x_{0}$ புள்ளியிலும் சார்பின் டெய்லர் தொடரானது ( $T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$ ), $x_{0}$ இன் அண்மையகத்தில் புள்ளிவாரியாக^[a] $f(x)$ ஆக ஒருங்குகின்ற சார்பாகக் கூறலாம்.

கொடுக்கப்பட்ட ஒரு கணம் $D$ இன் மீதான அனைத்து மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்புகளின் கணத்தின் குறியீடு, ${\mathcal {C}}^{\,\omega }(D)$ .

மெய்யெண் கோட்டின் ஒரு உட்கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு $f$ ஆனது பகுமுறைச் சார்பாக அமையுமொரு $x$ இன் அண்மையகம் இருக்குமால், $x$ புள்ளியில் $f$ ஆனது பகுமுறைச் சார்பாகும்.

சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்பின் வரையறையானது மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்பின் வரையறையில் "மெய்யெண்" என்பதை "சிக்கலெண்" என்றும் "மெய்யெண் கோடு" என்பதை "சிக்கலெண் தளம்" என்றும் பதிலிட்டுப் பெறப்படுகிறது. ஒரு சார்பானது முற்றுருவச் சார்பியமாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" அது சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்பாக இருக்கும். இதனால் இச்சார்புகளைக் குறிப்பிடும்போது "முற்றுருவச் சார்பியம்", "சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்பியம்" என்ற சொற்கள் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றிப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.^[1]

எடுத்துக்காட்டுகள் தொகு

பகுமுறைச் சார்புகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:

அடிப்படை சார்புகள்
- அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகள்
- அடுக்குறிச் சார்பு முக்கோணவியல் சார்புகள், மடக்கைச் சார்பு மற்றும் அடுக்குச் சார்புகள்
சிறப்புச் சார்புகள்
- காமா சார்பியங்கள்

பகுமுறைச் சார்புகள் அல்லாதவை:
- தனிமதிப்புச் சார்பு 0 இல் வகையிடத்தக்கதல்ல; எனவே மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட தனிமதிப்புச் சார்பானது எல்லாப் புள்ளிகளிலும் பகுமுறைச் சார்பாக இருக்காது.
- துண்டுவாரிச் சார்புகள், துண்டுகள் சந்திக்கும் இடங்களில் பகுமுறைச் சார்பாக அமையாது
- இணைச் சிக்கலெண் சார்பு z → z * சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்பல்ல. எனினும் இச்சார்பின் ஆட்களத்தை மெய்யெண் கோடாகக் கொண்டால் இச் சார்பு முற்றொருமைச் சார்பாக இருக்கும். இந்நிலையில் சார்பானது மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்பாக ( $\mathbb {R} ^{2}$ ----> $\mathbb {R} ^{2}$ ) இருக்கும்.

குறிப்புகள் தொகு

↑ Churchill; Brown; Verhey (1948). Complex Variables and Applications. McGraw-Hill. பக். 46. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-07-010855-2. https://archive.org/details/complexvariable00chur/page/46. "A function f of the complex variable z is analytic at point z₀ if its derivative exists not only at z but at each point z in some neighborhood of z₀. It is analytic in a region R if it is analytic at every point in R. The term holomorphic is also used in the literature do denote analyticity"

↑ This implies uniform convergence as well in a (possibly smaller) neighborhood of $x_{0}$ .

மேற்கோள்கள் தொகு

John B. Conway (1978). Functions of One Complex Variable I. Graduate Texts in Mathematics 11 (2nd ). Springer-Verlag. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-387-90328-6.
Krantz, Steven; Harold R. Parks (2002). A Primer of Real Analytic Functions (2nd ). Birkhäuser. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-8176-4264-1. https://archive.org/details/primerofrealanal0000kran.

வெளி இணைப்புகள் தொகு

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Analytic function", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
Weisstein, Eric W., "Analytic Function", MathWorld.
Solver for all zeros of a complex analytic function that lie within a rectangular region by Ivan B. Ivanov

[2] Churchill; Brown; Verhey (1948). Complex Variables and Applications. McGraw-Hill. பக். 46. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-07-010855-2. https://archive.org/details/complexvariable00chur/page/46. "A function f of the complex variable z is analytic at point z₀ if its derivative exists not only at z but at each point z in some neighborhood of z₀. It is analytic in a region R if it is analytic at every point in R. The term holomorphic is also used in the literature do denote analyticity"

[1] This implies uniform convergence as well in a (possibly smaller) neighborhood of $x_{0}$ .

[a]

[1]