முற்றுருவச் சார்பியம்

கணிதத்தில் முற்றுருவச் சார்பியம் (holomorphic function, ஓலோமாஃர்பியச் சார்பியம்) என்பது சிக்கலெண் மதிப்பைத்தரும், சிக்கலெண் மாறி அல்லது மாறிகளைக் கொண்ட, தான் இயங்கும் களத்தில் எல்லாப் புள்ளிகளிலும் வகையீடு செய்யத்தக்க ஒரு சார்பியம்.

A rectangular grid (top) and its image under a Conformal map f (bottom).

இச்சார்பியத்தின் பெயராகிய ஓலோமாஃபியம் (holomorphic) என்பது இரு கிரேக்கச்சொற்களில் இருந்து உருவானது. கிரேக்கச் சொல்லான ὅλος (holos), ஓலோசு என்றால் முழு என்று பொருள்,; μορφή (morphē) மோர்ஃபெ என்றால் புறத்தோற்றம் அல்லது உருவம் என்று பொருள்.

பெரும்பாலானா நேரங்களில் ஓலோமாஃபியச் சார்பியம் என்பது தொடர்ந்து வகையீடு செய்யத்தக்க அனலிட்டிக்குச் சார்பியம் (analytic function) என்று பொருள் கொள்ளப்படுகின்றது, பொருள்கொண்டாலும், இந்த அனலிட்டிக்குச் சார்பியம் என்பது மேலும் பொதுவானதானதாகக் கருதப்படுகின்றது. எல்லா ஓலோமாஃபியச் சார்பியங்களும் வகையீடு செய்யத்தக்க சிக்கலெண் சார்பியம் என்பதும் எல்லா வகையீடுசெய்யத்தக்க சிக்கலெண் மதிப்பு சார்பியங்களும் ஓலோமார்ஃபியச் சார்பியம் என்பது சிக்கலெண் பகுப்பாய்வில் முக்கியமான் தேற்றம்.

வரையறை

The function $f(z)={\bar {z}}$ is not complex-differentiable at zero, because as shown above, the value of $f(z)-f(0) \over z-0$ varies depending on the direction from which zero is approached. Along the real axis, f equals the function g(z) = z and the limit is 1, while along the imaginary axis, f equals h(z) = −z and the limit is −1. Other directions yield yet other limits.

ஒற்றைச் சிக்கலெண் மாறிகொண்ட சிக்கலெண் சார்பியம்f என்பதின் z₀ என்னும் புள்ளியில் அதன் வகையீடு, அதன் இயங்குக் களத்தில் (domain) அடைவெல்லையாக

$f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.$

இது கணிதத்தில் மெய்யெண் சார்பியத்துக்கான வகைக்கெழு (Derivative) என்பதன் வரையறையை ஒத்ததே, ஆனால் இங்கே உள்ள உருப்படிகள் சிக்கலெண் வகையை சார்ந்தவை. குறிப்பாக அடைவானது (limit) சிக்கலெண் zஎன்பது z₀ ஐ அடையும்பொழுது சிக்கலெண் தளத்தில் எந்த வரிசையான சிக்கலெண் z ஆக இருந்தாலும், அவை z₀ ஐ அடையும் பொழுது அதே மதிப்பைக் கொண்டிருக்கவேண்டும். அந்த அடைவு (limit) இருக்குமானால், f என்பது z₀ என்னும் புள்ளியில்சிக்கலெண்-வகையீடு செய்யத்தக்க (complex-differentiable) ஒன்று என்று சொல்வோம். இந்த வகையீடு செய்யத்தக்க என்னும் கருத்துரு மெய்யெண் சார்பியத்தின் வகையீடு செய்யத்தக்கது என்பதோடு பல கோணங்களில் ஒத்தது.: இது நேரிய மாற்றுமை ([linear transformation), கொண்டது, பெருக்கல் விதி, வகுத்தல் விதி, சங்கிலி விதி ஆகியவை கொண்டிருப்பன.

f என்பது U என்னும் திறந்த கணத்தில் (open set ) z₀ என்னும் எவ்வொரு புள்ளியிலும் சிக்கலெண்-வகையீடு செய்யத்தக்கது எனில், f என்பதை U -வில் முற்றுரு (ஓலோமார்ஃபிக்கு) என்போம். f ஆனது z₀ என்னும் அண்டை வெளியில் (neighborhood) முற்றுரு அல்லது ஓலோமார்ஃபிக்காக இருந்தால் z₀ என்னும் புள்ளியில் முற்றுரு அல்லது ஓலோமார்ஃபிக்காக இருக்கும் என்போம்.

மெய்யெண் சாரிபிய வகையீடு செய்யத்தக்க ஒன்றுக்கும் சிக்கலெண் சார்பிய வகையீடு செய்யத்தக்க ஒன்றுக்கும் இடையேயான தொடர்பு என்னவென்றால் அது கீழ்க்காண்பதாகும்: சிக்கலெண் சார்பியம் f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) ஒரு முற்றுரு (ஓலோமார்ஃபிக்கு) சார்பியமானால், u வும் v யும் x ஓடும் y ஓடும் பகுதி வகையீட்டுக்கெழு கொண்டிருக்கும் - அவை காசி-இரீமன் சமன்பாடுகள்(Cauchy–Riemann equations) செல்லுமையாகும்படி இருக்கும் :

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,$

அல்லது, இன்னொரு ஈடான வழிப்படி, f இன் விர்திங்கர் வகையீட்டுக்கெழு (Wirtinger derivative), z இன் சிக்கலெண் மறுவெதிர்ப்பாக (complex conjugate) அடிப்படையில் சுழியம் ஆகும்

${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,$

இது கூறுவது என்னவென்றால் ஏறத்தாழ, f ஆனது z இன் மறுவெதிர்ப்பாகத்தைச் சாராதது.