நுண்கணிதத்தில் வகையிடலின் பெருக்கல் விதி அல்லது பெருக்கல் விதி (product rule ) என்பது, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகின்ற ஒரு விதியாகும்.
இவ்விதியின் கூற்று:
f , g வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்:
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
⋅
g
+
f
⋅
g
′
{\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,\!}
லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் இவ்விதி:
d
d
x
(
u
⋅
v
)
=
u
⋅
d
v
d
x
+
v
⋅
d
u
d
x
{\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)=u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}+v\cdot {\dfrac {du}{dx}}}
வகையீடுகளின் குறியீட்டில் இவ்விதியைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
d
(
u
v
)
=
u
d
v
+
v
d
u
{\displaystyle d(uv)=u\,dv+v\,du}
இவ்விதியின்படி மூன்று சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் வகைக்கெழு :
d
d
x
(
u
⋅
v
⋅
w
)
=
d
u
d
x
⋅
v
⋅
w
+
u
⋅
d
v
d
x
⋅
w
+
u
⋅
v
⋅
d
w
d
x
{\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}\cdot w+u\cdot v\cdot {\dfrac {dw}{dx}}}
தொகு
இந்தப் பெருக்கல் விதி லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பாகக் கருதப்படுகிறது (மாற்றுக் கருத்தும் உள்ளது). லைப்னிட்ஸ் இவ்விதியை வகையீடுகளைக் கொண்டு விளக்கியுள்ளார்.
u (x ) , v (x ) இரு வகையிடக்கூடிய சார்புகள் எனில் uv இன் வகையீடு:
d
(
u
⋅
v
)
=
(
u
+
d
u
)
⋅
(
v
+
d
v
)
−
u
⋅
v
=
u
⋅
d
v
+
v
⋅
d
u
+
d
u
⋅
d
v
.
{\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}
du ·dv மதிப்புத் தவிர்க்கத்தக்க அளவு சிறியதாகையால் அதை விட்டுவிடக் கிடைப்பது,
d
(
u
⋅
v
)
=
v
⋅
d
u
+
u
⋅
d
v
{\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv\,\!}
இது பெருக்கல் விதியின் வகையீட்டு வடிவமாகும்.
dx ஆல் வகுக்க,
d
d
x
(
u
⋅
v
)
=
v
⋅
d
u
d
x
+
u
⋅
d
v
d
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}\,\!}
இதனைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம்:
(
u
⋅
v
)
′
=
v
⋅
u
′
+
u
⋅
v
′
.
{\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.\,\!}
பொதுவாக வகையிடும்போது நிகழக்கூடிய ஒரு பிழை (uv ) இன் வகைக்கெழுவை (u ′)(v ′) எனக் கருதிவிடுவது ஆகும். லைப்னிட்சுக்கும் இத்தவறு நேர்ந்ததுண்டு[ 1]
பெருக்கல் விதியை எல்லைகளின் பண்புகளையும் வகையிடலின் வரையறையும் பயன்படுத்தி நிறுவுதல்.
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
,
{\displaystyle h(x)=f(x)g(x),\,}
ƒ , g -என்பவை x இல் வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்,
h
′
(
x
)
=
lim
w
→
x
h
(
w
)
−
h
(
x
)
w
−
x
=
lim
w
→
x
f
(
w
)
g
(
w
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
w
−
x
(
1
)
{\displaystyle h'(x)=\lim _{w\to x}{h(w)-h(x) \over w-x}=\lim _{w\to x}{f(w)g(w)-f(x)g(x) \over w-x}\qquad \qquad (1)}
இதிலுள்ள
f
(
w
)
g
(
w
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
(
2
)
{\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad \qquad (2)}
செவ்வகத்தின் பரப்புக்கும் சிறிய செவ்வகத்தின் பரப்புக்குமுள்ள வித்தியாசம் ஆகும்.
இவ்விரண்டு செவ்வகங்களுக்கு இடையேயுள்ள பகுதியை இரு செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கலாம். இவ்விரு பகுதிகளின் பரப்புகளின் கூடுதல்:[ 2]
f
(
x
)
(
g
(
w
)
−
g
(
x
)
)
+
g
(
w
)
(
f
(
w
)
−
f
(
x
)
)
.
(
3
)
{\displaystyle f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)}
(
2
)
{\displaystyle \qquad (2)}
(
3
)
{\displaystyle \qquad (3)}
f
(
w
)
g
(
w
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
=
f
(
x
)
(
g
(
w
)
−
g
(
x
)
)
+
g
(
w
)
(
f
(
w
)
−
f
(
x
)
)
(
4
)
{\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(x)=f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}\qquad \qquad (4)}
இதை (1) இல் பயன்படுத்த,
lim
w
→
x
(
f
(
x
)
(
g
(
w
)
−
g
(
x
)
w
−
x
)
+
g
(
w
)
(
f
(
w
)
−
f
(
x
)
w
−
x
)
)
(
4
)
{\displaystyle \lim _{w\to x}\left(f(x)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right)\qquad (4)}
இதிலுள்ள அனைத்து எல்லைகளின் மதிப்பையும் காண முடியும் என எடுத்துக்கொண்டால்,
(
lim
w
→
x
f
(
x
)
)
(
lim
w
→
x
g
(
w
)
−
g
(
x
)
w
−
x
)
+
(
lim
w
→
x
g
(
w
)
)
(
lim
w
→
x
f
(
w
)
−
f
(
x
)
w
−
x
)
(
5
)
{\displaystyle \left(\lim _{w\to x}f(x)\right)\left(\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim _{w\to x}g(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right)\qquad (5)}
இப்பொழுது
lim
w
→
x
f
(
x
)
=
f
(
x
)
,
{\displaystyle \lim _{w\to x}f(x)=f(x),}
w → x எனும்போது f (x ) மாறுவதில்லை)
lim
w
→
x
g
(
w
)
=
g
(
x
)
,
{\displaystyle \lim _{w\to x}g(w)=g(x),\,}
lim
w
→
x
f
(
w
)
−
f
(
x
)
w
−
x
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}=f'(x)}
lim
w
→
x
g
(
w
)
−
g
(
x
)
w
−
x
=
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}=g'(x)}
f , g இரண்டும் x இல் வகையிடத்தக்கதாய் இருப்பதால்)இம்முடிவுகளை (5) இல் பயன்படுத்த,
h
′
(
x
)
=
f
(
x
)
g
′
(
x
)
+
g
(
x
)
f
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=f(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,}
வேறுபல முறைகளிலும் இவ்விதியை நிறுவ முடியும்.
தொகு
பெருக்கல் விதியை இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கும் விரிவுபடுத்தலாம்:
d
(
u
v
w
)
d
x
=
d
u
d
x
v
w
+
u
d
v
d
x
w
+
u
v
d
w
d
x
{\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}\,\!}
f
1
,
…
,
f
k
{\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}
k -சார்புகளுக்கு:
d
d
x
[
∏
i
=
1
k
f
i
(
x
)
]
=
∑
i
=
1
k
(
d
d
x
f
i
(
x
)
∏
j
≠
i
f
j
(
x
)
)
=
(
∏
i
=
1
k
f
i
(
x
)
)
(
∑
i
=
1
k
f
i
′
(
x
)
f
i
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}
தொகு
பெருக்கல் விதியை இரு சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் n ஆம் வரிசை வகையிடலுக்குப் பொதுமைப்படுத்தலாம்:
(
u
v
)
(
n
)
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
⋅
u
(
n
−
k
)
(
x
)
⋅
v
(
k
)
(
x
)
.
{\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}
பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி, பொது லைப்னிட்ஸ் விதி அல்லது லைப்னிட்ஸ் விதி என அழைக்கப்படுகிறது.
தொகு
உயர்வரிசை பகுதி வகையிடலுக்கான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி:
∂
n
∂
x
1
⋯
∂
x
n
(
u
v
)
=
∑
S
∂
|
S
|
u
∏
i
∈
S
∂
x
i
⋅
∂
n
−
|
S
|
v
∏
i
∉
S
∂
x
i
{\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}
மூன்றாம் வரிசைப் பகுதி வகையிடல்:
∂
3
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
(
u
v
)
=
u
⋅
∂
3
v
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
+
∂
u
∂
x
1
⋅
∂
2
v
∂
x
2
∂
x
3
+
∂
u
∂
x
2
⋅
∂
2
v
∂
x
1
∂
x
3
+
∂
u
∂
x
3
⋅
∂
2
v
∂
x
1
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
x
1
∂
x
2
⋅
∂
v
∂
x
3
+
∂
2
u
∂
x
1
∂
x
3
⋅
∂
v
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
x
2
∂
x
3
⋅
∂
v
∂
x
1
+
∂
3
u
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
⋅
v
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\\\&{}=u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\\\&{}\qquad +{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\end{aligned}}}
Child, J. M. (2008) "The early mathematical manuscripts of Leibniz", Gottfried Wilhelm Leibniz, translated by J. M. Child; page 29, footnote 58.
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d914d5b0e94301307da282eb0a2f6479537eb9a)
