டி மாவர்-லாப்லாசு தேற்றம்

கணிதத்தின் ஒரு பிரிவான புள்ளியியலின் நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில், டி மாவர் - லாப்லாசு தேற்றம் (de Moivre–Laplace theorem) ஒரு ஈருறுப்புப் பரவலானது சில நிபந்தனைகளின் கீழ் எவ்வாறு இயல்நிலைப் பரவலாக மாறுகிறது என்பதைப் பற்றிக் கூறுகிறது. இத்தேற்றம் மைய எல்லைத் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வகையாகும்.

n மிக அதிகமாகும்போது ஈருறுப்புப் பரவலின் வடிவம் காசியன் வளைவரையைப் போல மாறுகிறது.

இத்தேற்றத்தின் கூற்றின்படி, n பெர்னெளலி முயற்சிகளில் ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவு p எனவும், கிடைக்கக் கூடிய வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையை சமவாய்ப்பு மாறியாகவும் எடுத்துக் கொண்டால் அச்சமவாய்ப்பு மாறியின் நிகழ்தகவுப் பரவல் ஒரு ஈருறுப்புப் பரவலாகும். இப்பரவலின் சராசரி np , திட்டவிலக்கம் ${\sqrt {npq}}$ ஆகும். இதில் n ன் மதிப்பு மிக அதிகமாகும்போது இன்னும் சில நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு ஈருறுப்பு பரவல், இயல்நிலைப் பரவலாகத் தோராயப்படுத்தப்படுகிறது.

டி மாவரின், தி டாக்ட்ரின் ஆஃப் சான்சஸ் (The Doctrine of Chances) புத்தகத்தின் இரண்டாம் பதிப்பில் இத்தேற்றம் வெளியானது. அப்புத்தகத்தில் பெர்னெளலியின் முயற்சிகள் என்ற சொல் பயன்படுத்தப்படவில்லையென்றாலும் ஒரு நாணயத்தை 3600 முறை சுண்டும்போது கிடைக்கக் கூடிய தலைகளின் எண்ணிக்கையின் நிகழ்தகவுப் பரவலைப் பற்றி டி மாவர் குறிப்பிட்டு எழுதியுள்ளார்.

தேற்றம்

n ன் மதிப்பு அதிகமாகும்போது np ன் அண்மைப்பகுதியில் அமையும் k க்கு

${n \choose k}\,p^{k}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\,e^{-(k-np)^{2}/(2npq)},\quad p+q=1,\ p>0,\ q>0$ எனத் தோராயப்படுத்தலாம்.

அதாவது, $n\to \infty$ எனும்போது இடது மற்றும் வலதுபுறங்களின் விகிதம் ஒன்றை நெருங்குகிறது.

நிரூபணம்

ஸ்டெர்லிங் சூத்திரப்படி ஒரு மிகப் பெரிய எண்ணின் தொடர் பெருக்கலைக் கீழ்க்கண்டவாறு தோரயப்படுத்தலாம்.

$n!\simeq {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\text{ , as n}}\rightarrow \infty$

அல்லது:

$n!\simeq n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}{\text{ , as n}}\rightarrow \infty .$

எனவே

${\begin{aligned}{n \choose k}\,p^{k}q^{n-k}&={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}p^{k}q^{n-k}\\&\simeq {\frac {n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}{k^{k}e^{-k}{\sqrt {2\pi k}}{(n-k)}^{n-k}e^{-(n-k)}{\sqrt {2\pi (n-k)}}}}p^{k}q^{n-k}\\&=\left[{\frac {\sqrt {2\pi n}}{{\sqrt {2\pi k}}{\sqrt {2\pi (n-k)}}}}\right]\left[{\frac {n^{n}}{k^{k}{(n-k)}^{n-k}}}\right]\left[{\frac {e^{-n}}{e^{-k}e^{-(n-k)}}}\right]p^{k}q^{n-k}\\&=\left[{\frac {\sqrt {n}}{{\sqrt {k}}{\sqrt {2\pi (n-k)}}}}\right]\left[{\frac {n^{n}}{k^{k}{(n-k)}^{n-k}}}\right]\left[{\frac {e^{-n}}{e^{-k}e^{-n}{e}^{k}}}\right]p^{k}q^{n-k}\\&=\left[{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\right]\left[n^{n}{\left({\frac {p}{k}}\right)}^{k}{\left({\frac {q}{n-k}}\right)}^{(n-k)}\right]e^{-n+k+n-k}\\&=\left[{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\right]\left[n^{n-k+k}{\left({\frac {p}{k}}\right)}^{k}{\left({\frac {q}{n-k}}\right)}^{(n-k)}\right]\\&=\left[{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\right]\left[n^{n-k}n^{k}{\left({\frac {p}{k}}\right)}^{k}{\left({\frac {q}{n-k}}\right)}^{(n-k)}\right]\\&=\left[{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\right]\left[{\left({\frac {np}{k}}\right)}^{k}{\left({\frac {nq}{n-k}}\right)}^{(n-k)}\right]\\&=\left[{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\right]\left[{\left({\frac {k}{np}}\right)}^{-k}{\left({\frac {n-k}{nq}}\right)}^{-(n-k)}\right]\\\end{aligned}}$

,இப்பொழுது

$x={\frac {(k-np)}{\sqrt {npq}}}$ என்க.

$\Rightarrow \ k=np+x{\sqrt {npq}}$  

ஃ   $n-k=nq-x{\sqrt {npq}}$

$\Rightarrow \ {\frac {k}{np}}=1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}$  மற்றும்   ${\frac {n-k}{nq}}=1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}$

$\Rightarrow \ {n \choose k}p^{k}q^{n-k}\simeq \left[{\sqrt {\frac {n}{2{\mathbf {\pi } }k(n-k)}}}\right]\left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-(n-k)}\right]$

• முதல் வர்க்கமூல உறுப்பு:

${\begin{aligned}{\sqrt {\frac {n}{2\pi k\left(n-k\right)}}}&={\sqrt {{\frac {n}{2\pi k\left(n-k\right)}}\times {\frac {{1}/{n^{2}}}{{1}/{n^{2}}}}}}\\&={\sqrt {\frac {{1}/{n}}{{2\pi k(n-k)}/{n^{2}}}}}\\&={\sqrt {\frac {{1}/{n}}{2\pi {\frac {k}{n}}{\frac {(n-k)}{n}}}}}\\&={\sqrt {\frac {{1}/{n}}{2\pi {\frac {k}{n}}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)}}}\\&={\sqrt {\frac {{1}/{n}}{2\pi p\left(1-p\right)}}}\qquad \qquad \qquad \left[\because k\to np\Rightarrow {\frac {k}{n}}\to p\right]\\&={\sqrt {\frac {{1}/{n}}{2\pi pq}}}\qquad \qquad \qquad \left[\because p+q=1\Rightarrow q=1-p\right]\\&={\sqrt {\frac {1}{2\pi npq}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\\\end{aligned}}$

$\Rightarrow {n \choose k}p^{k}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2{\mathbf {\pi } }npq}}}\left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-(n-k)}\right]$

• $e^{\ln(y)}=y$ என்ற முடிவைப் பயன்படுத்த:

$\left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]=e^{\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}$ : $\Rightarrow {n \choose k}p^{k}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2{\mathbf {\pi } }npq}}}e^{\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}$

• ${\begin{aligned}\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]&=\ln {\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}+\ln {\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\\&=-k\ln \left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)-\left(n-k\right)\ln \left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)\\\end{aligned}}$

பின்வரும் மடக்கை விரிவுகளைப் பயன்படுத்த:-

$\ln \left(1+y\right)=y-{\frac {y^{2}}{2}}+{\frac {y^{3}}{3}}-{\frac {y^{4}}{4}}+\cdots$

$\ln \left(1-y\right)=-y-{\frac {y^{2}}{2}}-{\frac {y^{3}}{3}}-{\frac {y^{4}}{4}}-\cdots$

• $\Rightarrow \ln \left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)=x{\sqrt {\frac {q}{np}}}-{\frac {x^{2}q}{2np}}+\cdots$

  $\ln \left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)=-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}-{\frac {x^{2}p}{2nq}}-\cdots$

${\begin{aligned}\Rightarrow {\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}&=-k\left(x{\sqrt {\frac {q}{np}}}-{\frac {x^{2}q}{2np}}+\cdots \right)-\left(n-k\right)\left(-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}-{\frac {x^{2}p}{2nq}}-\cdots \right)\\&=-\left(np+x{\sqrt {npq}}\right)\left(x{\sqrt {\frac {q}{np}}}-{\frac {x^{2}q}{2np}}+\cdots \right)\\&-\left(nq-x{\sqrt {npq}}\right)\left(-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}-{\frac {x^{2}p}{2nq}}-\cdots \right)\\\end{aligned}}$

( $k=np+x{\sqrt {npq}}$,

$n-k=nq-x{\sqrt {npq}}$ எனப் பிரதியிடப்பட்டுள்ளது )

${\begin{aligned}\Rightarrow {\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}&=-\left(np\times x{\sqrt {\frac {q}{np}}}-np\times {\frac {x^{2}q}{2np}}+x{\sqrt {npq}}\times x{\sqrt {\frac {q}{np}}}-x\times {\frac {x^{2}q}{2np}}+\cdots \right)\\&-\left(-nq\times x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}-nq\times {\frac {x^{2}p}{2nq}}+x{\sqrt {npq}}\times x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}+x{\sqrt {npq}}\times {\frac {x^{2}p}{2nq}}+\cdots \right)\\&=-\left(x{\sqrt {npq}}-{\frac {x^{2}q}{2}}+x^{2}q+\cdots \right)-\left(-x{\sqrt {npq}}-{\frac {x^{2}p}{2}}+x^{2}p+\cdots \right)\\&=-\left(x{\sqrt {npq}}+{\frac {x^{2}q}{2}}+\cdots \right)-\left(-x{\sqrt {npq}}+{\frac {x^{2}p}{2}}+\cdots \right)\\&=-x{\sqrt {npq}}-{\frac {x^{2}q}{2}}+x{\sqrt {npq}}-{\frac {x^{2}p}{2}}-\cdots \\&=-{\frac {x^{2}q}{2}}-{\frac {x^{2}p}{2}}-\cdots \\&=-{\frac {x^{2}}{2}}\left(q+p\right)-\cdots \\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-\cdots \\\end{aligned}}$

$\Rightarrow {\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}\simeq -{\frac {x^{2}}{2}}$

$\Rightarrow {n \choose k}p^{k}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2{\mathbf {\pi } }npq}}}e^{\ln \left[{\left(1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}\right)}^{-k}{\left(1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2{\mathbf {\pi } }npq}}}e^{{-x^{2}}/{2}}$

(n இன் மதிப்பு அதிகமாகும்போது x இன் மதிப்பு பூச்சியத்தை நெருங்கும் என்பதால் மூன்றுக்கும் அதிகமான x இன் அடுக்குகளை விட்டுவிடலாம்.)

• $x={\frac {(k-np)}{\sqrt {npq}}}$

  $\Rightarrow {\frac {x^{2}}{2}}={\frac {{\left({\frac {(k-np)}{\sqrt {npq}}}\right)}^{2}}{2}}={\frac {{\left(k-np\right)}^{2}}{2npq}}$

ஃ ${n \choose k}p^{k}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2{\mathbf {\pi } }npq}}}e^{{-{\left(k-np\right)}^{2}}/{2npq}}$ (தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.)