டோத்தி எண்

கணிதத்தில் டோத்தி எண் (Dottie number) என்பது

டோத்தி எண், கொசைன் சார்பின் தனித்த மெய்மதிப்பு நிலைத்த புள்ளி

$\cos x=x,$ என்ற சமன்பாட்டின் தனித்த மெய்யெண் மூலமாக அமைகின்ற மாறிலியாகும்.

இதில் $\cos$ இன் தருமதிப்பு ஆரையங்களில் அமையும்.

டோத்தி எண்ணின் தசம விரிவு = $0.739085...$.

டோத்தி எண், கொசைன் சார்பின் ஒற்றை மெய்மதிப்பு நிலைத்த புள்ளியாகும். மேலும் இது ஒரு விஞ்சிய எண்ணுமாகும்.

மெய்யெண் தளத்தில் $\cos x=x,$ சமன்பாட்டிற்கு ஒரேயொரு தீர்வுதான் உள்ளது என்பதை இடைநிலை மதிப்புத் தேற்றத்தைக் கொண்டு எளிதாக அறியலாம். இச்சமன்பாட்டை சிக்கலெண்களுக்குப் பொதுமைப்படுத்த, $\cos z=z$ ($z$ ஒரு சிக்கலெண் மாறி) சமன்பாட்டிற்கு முடிவுறா எண்ணிக்கையிலான தீர்வுகள் கிடைக்கும்.

${\frac {\pi }{2}}$ இல் $f(x)=\cos(x)-x$ இன் நேர்மாறு சார்புக்கு டெயிலரின் தொடரைப் பயன்படுத்தி டோத்தி எண்ணை தொடராக எழுதலாம்:

${\frac {\pi }{2}}+\sum _{n\,\mathrm {odd} }a_{n}\pi ^{n},$

இதிலுள்ள $a_{n}$ ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருப்பதுடன் n ஒற்றையெண் மதிப்புகளுக்குப் பின்னுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{m\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial m^{n-1}}}{\left({\frac {\cos m}{m-\pi /2}}-1\right)^{-n}}\\&=-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac {43}{165150720}},\ldots \end{aligned}}$

வெளியிணைப்புகள்

• Miller, T. H. (Feb 1890). "On the numerical values of the roots of the equation cosx = x". Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 9: 80–83. doi:10.1017/S0013091500030868. https://www.cambridge.org/core/journals/proceedings-of-the-edinburgh-mathematical-society/article/on-the-numerical-values-of-the-roots-of-the-equation-cosx-x/72D9D6F7A49F980CA4CF92FF153FE837. 
• Salov, Valerii (2012). "Inevitable Dottie Number. Iterals of cosine and sine". 
• Azarian, Mohammad K. (2008). "ON THE FIXED POINTS OF A FUNCTION AND THE FIXED POINTS OF ITS COMPOSITE FUNCTIONS". International Journal of Pure and Applied Mathematics. https://ijpam.eu/contents/2008-46-1/3/3.pdf.