திசையிலி பெருக்கல்

கணிதத்தில் திசையிலி பெருக்கல் (scalar multiplication) என்பது நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு திசையன் வெளியை வரையறுக்கும் அடிப்படைச் செயல்களில் ஒன்றாகும்.).

a திசையனை 3 ஆல் பெருக்கக் கிடைக்கும் புதிய திசையன் 3a .

a திசையனின் திசையிலிப் பெருக்கல்: −a மற்றும் 2a

பொதுவான வடிவவியல் சூழல்களில் ஒரு மெய்யெண் யூக்ளீடிய திசையனை ஒரு நேர்ம மெய்யெண்ணால் பெருக்கும்போது அத்திசையனின் திசை மாறாமல் அதன் பரும அளவு அந்த மெய்யெண் அளவில் அதிகரிக்கிறது. ஒரு திசையனை ஒரு திசையிலியால் பெருக்குவது திசையிலிப் பெருக்கல் எனப்படுகிறது. அப்பெருக்கலின் விளைவும் ஒரு திசையனாக இருக்கும். விளைவுத் திசையனின் திசையானது, அத்திசையிலி நேர்மமாக இருப்பின் மூலத் திசையனின் திசையிலும், எதிர்மமாக இருப்பின் எதிர் திசையிலும் அமையும். விளைவுத் திசையனின் பரும அளவு மூலத்திசையனின் பரும அளவின் அத்திசையிலி மடங்காக இருக்கும்.

• திசையிலி r -ஆல் பெருக்கப்படுவதால் a -திசையன், r மடங்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது.
• r -நேர்ம எண்ணாக இருந்தால் $r\mathbf {a}$ -ன் அளவு a -ன் அளவைப் போல r மடங்காகவும்; திசை a -ன் திசையாகவும் அமையும்.
• r -எதிர்ம எண்ணாக இருந்தால் $r\mathbf {a}$ -ன் அளவு a -ன் அளவைப் போல r மடங்காகவும்; திசை a -ன் திசைக்கு எதிர்த் திசையாகவும் அமையும்.

r = −1 மற்றும் r = 2 , r = 3 என்பதற்கான திசையிலிப் பெருக்கலின் விளக்கம் படத்தில் தரப்பட்டுள்ளது.

வரையறை

K ஒரு இயற்கணிதக் களம்; V என்பது K மீதான ஒரு திசையன் வெளி எனில் திசையிலிப் பெருக்கலானது, K × V இலிருந்து V க்கான ஒரு சார்பாகும். இச்சார்பால் K இன் ஒரு உறுப்பு k மற்றும் V இன் உறுப்பு v இவற்றின் மீதான இச்சார்பின் விளைவு kv எனக் குறிக்கப்படும்.

பண்புகள்

திசையிலிப் பெருக்கல் கீழுள்ள விதிகளை நிறைவு செய்யும்:

• திசையிலிக் கூட்டலின் மீதான பங்கீட்டு விதி: (c + d)v = cv + dv;
• திசையன் கூட்டலின் மீதான பங்கீட்டு விதி: c(v + w) = cv + cw;
• (cd)v = c(dv);
• 1v = v;
• 0v = 0;
• (−1)v = −v.

இங்கு + என்பது இயற்கணித களம் அல்லது திசையன் வெளியின் கூட்டல் செயல்; 0 அக்கூட்டல் செயலிக்கான சமனி உறுப்பு.

அணிகளை திசையிலியால் பெருக்கல்

• இடப்பக்க திசையிலிப் பெருக்கல்

A அணியை λ என்ற திசையிலியால் பெருக்கினால் A உடன் சம வரிசை கொண்ட புது அணி λA கிடைக்கும்,

$(\lambda \mathbf {A} )_{ij}=\lambda \left(\mathbf {A} \right)_{ij}\,,$

$\lambda \mathbf {A} =\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A_{n1}&\lambda A_{n2}&\cdots &\lambda A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.$

• வலப்பக்கப் பெருக்கல்

$(\mathbf {A} \lambda )_{ij}=\left(\mathbf {A} \right)_{ij}\lambda \,,$

$\mathbf {A} \lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}\lambda &A_{12}\lambda &\cdots &A_{1m}\lambda \\A_{21}\lambda &A_{22}\lambda &\cdots &A_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}\lambda &A_{n2}\lambda &\cdots &A_{nm}\lambda \\\end{pmatrix}}\,.$

அணிகளின் உறுப்புகளமையும் களமானது பரிமாற்றுத்தன்மை கொண்டிருந்தால் இடப்பெருக்கல் மற்றும் வலப்பெருக்கல் இரண்டின் மதிப்பும் சமமாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டு:

$\lambda =2,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$

$2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \!b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2.$