கணிதத்தில், தொடர் விரிவு (series expansion ) என்பது அடிப்படை கணிதச் செயல்களால் (கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல்) விவரிக்க முடியாத ஒரு சார்பினைக் கணக்கிடும் முறையாகும்.
அவ்வாறு கணக்கிடும்போது கிடைக்கும் தொடரை தோராயப்படுத்தலாம் . தொடரில் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை குறைந்தளவாக இருப்பதைப் பொறுத்து தோராயமாக்கப்படல் எளிதாகும்.
எடுத்துக்காட்டுகள்
தொகு
ஒரு சார்புக்கு, தனிப்பட்டதொரு புள்ளியில் காணப்படும் வகைக்கெழுக்களில் அமைந்த அடுக்குத் தொடராகும்
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯
,
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
,
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}
sin
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
⋯
,
{\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}
டெய்லர் தொடரின் ஒரு சிறப்பு வகையாகும். இதில் சார்பின் வகைக்கெழுக்கள் பூச்சியத்தில் காணப்படுகின்றன எதிர்ம அடுக்குகளுக்கு நீட்டிக்கப்பட்ட டெய்லர் தொடர்
1
+
x
−
1
+
x
−
2
+
⋯
{\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }
இது எண் கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
,
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}
ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் ) காலமுறைச் சார்புகளை சைன், கொசைன்களில் அமைந்த தொடராகத் தருகிறது.
f
(
s
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
s
n
)
a
n
=
∑
n
=
0
∞
(
−
s
)
n
n
!
a
n
{\displaystyle f(s)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-s)_{n}}{n!}}a_{n}}
மேற்கோள்கள்
தொகு
வெளியிணைப்புகள்
தொகு
