டிரிழ்ச்லெட் தொடர்

கணிதவியலில் டிரிழ்ச்லெட் தொடர் (Dirichlet series) என்பது கீழ்க்காணும் வடிவில் அமைந்த எந்த கணிதத் தொடருக்குமான பெயர் ஆகும்.

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},$

மேலுள்ளதில் s மற்றும் a_n,  n = 1, 2, 3, ... என்பன சிக்கலெண்கள்.

டிரிழ்ச்லெட் தொடர் எண்கோட்பாட்டுக் கூறாய்வு இயலில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றது. ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் இந்த டிரிழ்ச்லெட் தொடராகவே அறியப்படுகின்றது. இது போலவே டிரிழ்ச்லெட் எல்-சார்பியங்களும் டிரிழ்ச்லெட் தொடரால் அமைந்தவை. டிரிழ்ச்லெட் தொடர் யோஃகான் பீட்டர் இகுசுட்டாவ் லெயூன் டிரிழ்லெட் (1805-1859) என்னும் டாய்ட்சு கணிதவியலரைப் பெருமைப்படுத்தும் முகமாக சூட்டப்பட்ட பெயர்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

பெரிதும் அறிந்த டிரிழ்ச்லெட் தொடர்:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},$

என்னும் ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் ஆகும்.

மற்றொன்று:

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$

மேலுள்ளதில் μ(n) என்பது மோபியசு சார்பியம் (Möbius function). இதுவும் கீழ்க்காணும் மற்ற தொடர்களும், பிற அறிந்த தொடர்களின் மோபியசுத் தலைமாற்றல் (Möbius inversion) மற்றும் டிரிழ்ச்லெட் பிணைவு(Dirichlet convolution) என்னும் கணிதவினைகள் மூலம் பெறக்கூடியது. எடுத்துக்காட்டாக டிரிழ்ச்லெட் எழுச்சி சார்பியம் (Dirichlet character) $\scriptstyle \chi (n)$ என்பது தரப்பட்டால்,

${\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}$

மேலுள்ளதில் $L(\chi ,s)$ என்பது ஒரு டிரிழ்ச்லெட் எல்-சார்பியம்(Dirichlet L-function).

மற்ற ஈடுகோள்களில் சில:

${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}$

மேலுள்ளதில் φ(n) என்பது டோழ்சன்ட் சார்பியம்), மற்றும்

$\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}$

${\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}$

மேலுள்ளதில் σ_a(n) என்பது வகுஎண் சார்பு. வகு எண் சார்பியங்கள் d=σ₀ வரும் மற்ற ஈடுகோள்கள்:

${\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}$

${\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.$

இசீட்டா சார்பியத்தின் மடக்கை:

$\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}}$

தளம்: Re(s) > 1. இதில், $\scriptstyle \Lambda (n)$ என்பது வான் மான்கோல்ட் சார்பியம் (von Mangoldt function). மடக்கை நுண்வகையீடு (logarithmic derivative):

${\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.$

கடைசி இரண்டும் டிரிழ்ச்லெட் தொடர்களின் நுண்வகையீடுகளின் பொதுவான பண்புகளின் சிறப்பு உருப்படிகள்.

லியோவில் சார்பியம்(Liouville function) $\scriptstyle \lambda (n)$ ஐத் தருவதாகக் கொண்டால், கீழ்க்காணும் சமன்பாட்டைப் பெறலாம்:

${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.$

மேலும் ஒரு எடுத்துக்காட்டு இராமனுசன் கூட்டு என்னும் கருத்தைக்கொண்டது:

${\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}.$

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• இசீட்டா சார்பிய சீராக்கம்
• ஆய்லர் பெருக்கல்

உசாத்துணை

• G. H. Hardy, and Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915).
• The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections
• Dirichlet series பிளாநெட்மேத்தில்