மோபியஸ் சார்பு
எண் கோட்பாட்டில் மோபியஸ் சார்பு (Möbius function, μ(n)) ஒரு முக்கியமான பெருக்கல் சார்பு. 1832 இல், ஜெர்மானியக் கணிதவியலாளர் ஆகஸ்ட் ஃபெர்டினாண்ட் மோபியசால் இச் சார்பு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.[1][2]
வரையறை
தொகுn இன் அனைத்து நேர் முழுஎண் மதிப்புகளுக்கும் μ(n) வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
- n ஒரு வர்க்கக்காரணியற்ற நேர் முழு எண் மற்றும் அதன் பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை இரட்டையெண் எனில்:
- μ(n) = 1
- n ஒரு வர்க்கக்காரணியற்ற நேர் முழு எண் மற்றும் அதன் பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றையெண் எனில்:
- μ(n) = −1
- n க்கு ஒரு பகாக்காரணி வர்க்க எண்ணாக இருந்தால்:
- μ(n) = 0
முதல் 25 நேர் முழுஎண்களுக்கான μ(n) இன் மதிப்புகள் (OEIS-இல் வரிசை A008683)
- 1, −1, −1, 0, −1, 1, −1, 0, 0, 1, −1, 0, −1, 1, 1, 0, −1, 0, −1, 0, 1, 1, −1, 0, 0.
சார்பின் முதல் 50 மதிப்புகள் கீழுள்ள படத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன:
பண்புகள்
தொகு- மோபியஸ் சார்பு ஒரு பெருக்கல் சார்பாகும். அதாவது, a மற்றும் b சார்பகா எண்கள் எனில்:
- μ(ab) = μ(a) μ(b)}}
- n இன் பகாக்காரணிகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கில் கொள்ளாமலேயே மோபியஸ் சார்பு கணக்கிடும் வாய்ப்பாடு[3]:
μ(n) பிரிவுகள்
தொகு- n ஒரு பகா எண்ணின் வர்க்கத்தால் வகுபடுவதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, μ(n) = 0. இப் பண்பினைக் கொண்ட முதல் எண்கள் (OEIS-இல் வரிசை A013929)
- 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63,....
- n ஒரு பகா எண் எனில் μ(n) = −1, ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையல்ல. μ(n) = −1 எனக்கொண்ட பகாஎண்ணல்லாத முதல் எண்: 30 = 2x3x5. இவ்வாறான மூன்று வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளைக் கொண்ட எண் ஸ்ஃபீனிக் எண்களென அழைக்கப்படுகின்றன.
முதல் ஸ்ஃபீனிக் எண்கள்:
- 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, … (OEIS-இல் வரிசை A007304)
.
ஐந்து வெவ்வேறான பகாக்காரணிகளைக் கொண்ட எண்கள்:
- 2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, … (OEIS-இல் வரிசை A046387)
.
குறிப்புகள்
தொகு- ↑ Hardy & Wright, Notes on ch. XVI: "... μ(n) occurs implicitly in the works of Euler as early as 1748, but Möbius, in 1832, was the first to investigate its properties systematically."
- ↑ In the Disquisitiones Arithmeticae (1801) கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ் showed that the sum of the primitive roots (mod p) is μ(p − 1), (see #Properties and applications) but he didn't make further use of the function. In particular, he didn't use Möbius inversion in the Disquisitiones.
- ↑ Hardy & Wright 1980, (16.6.4), p. 239
மேற்கோள்கள்
தொகுThe Disquisitiones Arithmeticae has been translated from Latin into English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.
- Gauss, Carl Friedrich (1986), Disquisitiones Arithemeticae, Arthur A. Clarke (English translator) (corrected 2nd ed.), New York: Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-96254-9
- Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory), H. Maser (German translator) (2nd ed.), New York: Chelsea, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-8284-0191-8
- Computing the summation of the Möbius function by Marc Deléglise and Joël Rivat Experimental Mathematics Volume 5, Issue 4291-295
- Edwards, Harold (1974), Riemann's Zeta Function, Mineola, New York: Dover, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-41740-9
- Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.), Oxford: ஒக்ஸ்போர்ட் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம், பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-19-853171-5
- Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic algebra I (2nd ed.), Dover Publications, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-486-47189-1
- Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006), Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer-Verlag, pp. 187–226, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 1-4020-4215-9, Zbl 1151.11300
- Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004), Handbook of number theory II, Dordrecht: Kluwer Academic, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 1-4020-2546-7, Zbl 1079.11001
- N.I. Klimov (2001), "Möbius function", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1556080104
- Ed Pegg, Jr., "The Möbius function (and squarefree numbers)", MAA Online Math Games (2003)