நான்கு நிறத் தேற்றம்

நான்கு நிறத் தேற்றம் (Four color theorem) என்பது, கணிதத்தில், வடிவவியலோடு தொடர்புடைய ஒரு தேற்றம் ஆகும். இத் தேற்றம், தளம் ஒன்றை அடுத்தடுத்து அமைந்த பகுதிகளாகப் பிரிக்கும் வகையில் அமைந்த வரைபடம் ஒன்றில், அடுத்துள்ள இரண்டு பகுதிகள் ஒரே நிறத்தைக் கொண்டிராதவாறு நிறந்தீட்டுவதற்குத் தேவையான நிறங்களின் எண்ணிக்கை நான்குக்கு மேற்படா என்று கூறுகிறது. இங்கே, அடுத்தடுத்த பகுதி என்று கூறும்போது, அப் பகுதிகளுக்கு இடையே ஒரு பொதுவான எல்லைக் கோடு இருப்பதைக் குறிக்கிறது. ஒரு புள்ளியில் மட்டும் பொதுவாக இருக்கும்படி மூலைகளில் மட்டும் தொட்டுக்கொண்டிருக்கும் பகுதிகள் இங்கே அடுத்தடுத்த பகுதிகளாகக் கருதப்படுவதில்லை.

நான்கு நிற வரைபடம் ஒன்றுக்கான எடுத்துக்காட்டு

நான்கு நிறந் தீட்டிய ஐக்கிய அமெரிக்காவின் நிலப்படம்.

அரசியல் பிரிவுகளைக் காட்டும் நிலப்படங்களுக்கு நிறந்தீட்டுவது என்பது இத் தேற்றம் உருவாவதற்கான உந்துதலைக் கொடுத்தது எனினும், நிலப்பட வரைவாளர்களுக்கு இது தொடர்பில் குறிப்பிட்ட ஆர்வம் எதுவும் கிடையாது. கென்னத் மே என்னும் கணித வரலாற்றாளர், "நான்கு நிறங்களைப் பயன்படுத்தும் நிலப்படங்கள் மிகவும் அரிது. வழமையாக அவற்றில் மூன்று நிறங்களே தேவைப்படுகின்றன. நிலப்படவியல், நிலப்பட வரலாறு என்பன குறித்த நூல்களும் நான்கு நிற இயல்பு பற்றிக் குறிப்பிடுவது இல்லை." என்று கூறுகிறார்.

எளிமையான வரை படங்களுக்கு மூன்று நிறங்கள் போதுமானவை. ஒரு பகுதியைச் சுற்றிலும் வட்டமாக ஒற்றை எண்ணிக்கையான பகுதிகள் அமையும் வரை படங்களுக்கு நிறந் தீட்டுவதற்குக் கூடுதலாக நான்காவது நிறம் தேவைப்படும். முன்னர் குறிப்பிட்டபடியான வரைபடம் ஒன்றை நிறந்தீட்டுவதற்கு ஐந்து நிறங்கள் போதுமானவை எனக்கூறும் ஐந்து நிறத் தேற்றம் 19 ஆம் நூற்றாண்டில் மிகவும் எளிமையாக நிறுவப்பட்டது. ஆனால், நான்கு நிறத் தேற்றத்தை நிறுவுவது கடினமாக அமைந்தது. 1852 ஆம் ஆண்டில் இத் தேற்றம் தொடர்பான கூற்று வெளிப்படுத்தப்பட்ட பின்னர் பல போலி நிறுவுதல்களும், புறநடை எடுத்துக்காட்டுகளும் எழுந்தன.

நான்கு நிறத் தேற்றத்தைக் கென்னத் அப்பெல், வூல்ஃப்காங் ஏக்கன் என்னும் இருவர் 1976 ஆம் ஆண்டில் நிறுவினர். கணனியின் உதவியோடு நிறுவிய முதலாவது முக்கியமான தேற்றம் இதுவாகும். இவர்களின் அணுகுமுறை, நான்கு நிறத் தேற்றத்துக்குப் புறநடையாக அமையாத 1,936 வரைபடங்களைக் கொண்ட குறிப்பிட்ட கணம் ஒன்றை எடுத்துக் காட்டுவதுடன் தொடங்கியது. இதில் அடங்கியுள்ள ஒவ்வொரு வரைபடமும் மேற்படி இயல்பைக் கொண்டிருந்தது என்பதைக் காட்டுவதற்கு கென்னத்தும் ஏக்கனும் இதற்கெனவே உருவாக்கப்பட்ட கணினி நிரல் ஒன்றைப் பயன்படுத்தினர். அத்துடன், புறநடை வரைபடங்கள் உட்பட்ட எல்லா வரைபடங்களும் அவற்றில் ஒரு பகுதியாக முன்னர் கூறிய 1,936 வரைபடங்களுள் ஒன்றைக் கொண்டிருந்தன என்றும் காட்டினர். இதற்கு கையால் எழுதிச் செய்யப்பட்ட நூற்றுக் கணக்கான பக்கங்களைக் கொண்ட பகுப்பாய்வு தேவையாக இருந்தது. இதன் மூலம், புறநடையான எந்த ஒரு வரைபடமும் நான்கு நிறத் தேற்றத்தோடு உடன்படும் 1,936 வரைபடங்களைக் கொண்டிருக்கவேண்டும் என்ற அதே வேளை அவற்றைக் கொண்டிருக்க முடியாது என்னும் முரண்பாடு இருப்பதை எடுத்துக் காட்டினர். இந்த முரண்பாடு புறநடைகள் எதுவுமே இருக்க முடியாது என்பதைக் காட்டியதால் தேற்றம் உண்மை என நிறுவப்பட்டது. எனினும், கணனியின் துணையோடு செய்யப்படும் நிறுவல்களை மனிதர் சரிபார்ப்பது முடியாது என்பதால் இந்த நிறுவலைப் பல கணித வல்லுனர்கள் தொடக்கத்தில் ஏற்றுக்கொள்ளவில்லை. இது குறித்த ஐயப்பாடுகள் இன்னும் நிலவியபோதும், தற்போது இந்நிறுவலைப் பலரும் ஏற்றுள்ளனர்.

மீந்திருக்கும் ஐயப்பாடுகளை நீக்கும் நோக்குடன், அதே எண்ணக்கருவைப் பயன்படுத்தி ராபர்ட்சன், சான்டர்சு, சேமூர், தாமசு ஆகியோர் 1997 ஆம் ஆண்டில் ஒரு நிறுவலை வெளியிட்டனர். இவர்களும் கணினியின் பயன்பாட்டிலேயே பெரிதும் தங்கியிருந்தனர். 2005 ஆம் ஆண்டில், பொது நோக்குத் தேற்றம் நிறுவும் மென்பொருளைப் பயன்படுத்தி ஜார்ஜசு கான்தியர் என்பவரும் இத் தேற்றத்தை நிறுவினார்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• கோட்டுரு நிறந்தீட்டல்
• அப்பலோனியன் வலையமைப்பு

உசாத்துணைகள்

• Allaire, F. (1997), "Another proof of the four colour theorem—Part I", Proceedings, 7th Manitoba Conference on Numerical Mathematics and Computing, Congr. Numer., vol. 20, pp. 3–72
• Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang (1977), "Every Planar Map is Four Colorable Part I. Discharging", Illinois Journal of Mathematics, vol. 21, pp. 429–490
• Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang; Koch, John (1977), "Every Planar Map is Four Colorable Part II. Reducibility", Illinois Journal of Mathematics, vol. 21, pp. 491–567
• Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang (1977), "Solution of the Four Color Map Problem", Scientific American, vol. 237, no. 4, pp. 108–121, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1038/scientificamerican1077-108 {{citation}}: Unknown parameter |month= ignored (|date= suggested) (help)
• Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang (1989), Every Planar Map is Four-Colorable, Providence, RI: American Mathematical Society, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-8218-5103-9
• Bernhart, Frank R. (1977), "A digest of the four color theorem.", Journal of Graph Theory, vol. 1, pp. 207–225, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1002/jgt.3190010305 {{citation}}: Cite has empty unknown parameter: |1= (help)
• Cayley, Arthur (1879), "On the colourings of maps", Proc. Royal Geographical Society, Blackwell Publishing, vol. 1, no. 4, pp. 259–261, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/1799998, JSTOR 1799998
• Fritsch, Rudolf; Fritsch, Gerda (1998), The Four Color Theorem: History, Topological Foundations and Idea of Proof, New York: Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-387-98497-1
• Gonthier, Georges (2008), "Formal Proof—The Four-Color Theorem" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, vol. 55, no. 11, pp. 1382–1393
• Gonthier, Georges (2005), A computer-checked proof of the four colour theorem (PDF), unpublished