நுண்கணிதத்தில் , வகையிடலின் நேர்மாறுச் சார்பு விதி அல்லது நேர்மாறுச் சார்பு விதி (Inverse funcion rule ) என்பது வகையிடல் விதிகளுள் ஒன்று. இவ்விதி ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது.
f
(
x
)
=
log
2
(
x
)
;
{\displaystyle {\color {Blue}f(x)}={\color {Blue}\log _{2}(x)};}
f
′
(
x
)
=
log
2
⋅
(
x
)
{\displaystyle {\color {Periwinkle}f'(x)}={\color {Periwinkle}\log 2\cdot (x)}}
f
−
1
(
x
)
=
2
x
;
{\displaystyle {\color {red}f^{-1}(x)}={\color {red}2^{x}};}
(
f
−
1
)
′
(
x
)
=
l
o
g
2
⋅
2
x
{\displaystyle {\color {Salmon}(f^{-1})'(x)}={\color {Salmon}log2\cdot 2^{x}}}
f
′
(
x
)
=
1
(
f
−
1
)
′
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle {\color {Periwinkle}f'}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}(f^{-1})'}({\color {Blue}f}(x))}}}
x
0
≈
5.8
{\displaystyle x_{0}\approx 5.8}
f
′
(
x
0
)
=
1
4
{\displaystyle {\color {Periwinkle}f'}(x_{0})={\frac {1}{4}}}
(
f
−
1
)
′
(
f
(
x
0
)
)
=
4
{\displaystyle {\color {Salmon}(f^{-1})'}({\color {Blue}f}(x_{0}))=4~}
விதியின் கூற்று:
சார்பு
f
{\displaystyle f}
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்
x
=
a
{\displaystyle x=a}
[
f
−
1
]
′
(
a
)
=
1
f
′
(
f
−
1
(
a
)
)
{\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}}}
இது லாக்ராஞ்சியின் குறியீட்டில் தரப்பட்டுள்ளது.
லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் :
d
x
d
y
⋅
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1}
d
x
d
y
=
1
d
y
d
x
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}}
ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவும் அதன் நேர்மாறின் வகைக்கெழுவும் தலைகீழிகளாக அமைகின்றன.
இது சங்கிலி விதியிலிருந்து பின்வருமாறு பெறப்படுகிறது:
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x
=
f
−
1
(
y
)
{\displaystyle x=f^{-1}(y)}
சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி ஐப் பொறுத்து வகையிட:
d
x
d
y
⋅
d
y
d
x
=
d
x
d
x
=
1
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}=1}
(
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
ஒரு சார்பின் வரைபடமும் அதன் நேர்மாறுச் சார்பின் வரைபடமும் ஒன்றுக்கொன்று y = x கோட்டைப் பொறுத்த பிரதிபலிப்புகளாக அமையும். பிரதிபலிப்புச் செயலால் ஒரு கோட்டின் சாய்வும் அக்கோட்டின் பிரதிபலிப்பு எதிருவாக அமையும் கோட்டின் சாய்வும் தலைகீழிகளாக இருக்கும்.
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
f
{\displaystyle f}
பூச்சியமற்றதாகவும் இருந்தால், அப்புள்ளியில் நேர்மாறுச் சார்பும் வகையிடத்தக்கதாக இருக்கும். மேலும் அந்த வகைக்கெழுவை மேலே தரப்பட்டுள்ள வாய்ப்பாட்டின் மூலம் காணவும் முடியும்.
எடுத்துக்காட்டுகள்
தொகு
கூடுதல் பண்புகள்
தொகு
நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாட்டைத் தொகையிட ,
f
−
1
(
x
)
=
∫
1
f
′
(
f
−
1
(
x
)
)
d
x
+
c
{\displaystyle {f^{-1}}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(x))}}\,{dx}+c}
இத் தொகையீட்டின் மதிப்புக் காண முடிந்தால் மட்டுமே இம்முடிவு பயனுள்ளதாக இருக்கும். குறிப்பாக, தொகையிடப்படும் எல்லைக்குள்,
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
இதிலிருந்து தொடர்ச்சியான வகைக்கெழு உடைய சார்புகளுக்கெல்லாம், வகைக்கெழுவின் மதிப்பு பூச்சியமாகாத புள்ளிகளின் அண்மையகத்தில் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும் என்பது தெரிய வருகிறது. வகைக்கெழுச் சார்பு தொடர்ச்சியானது இல்லையெனில் இது உண்மையாக இருக்காது. உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்
தொகு
முதல் வகைக்கெழுவிற்கான நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாடு:
d
x
d
y
⋅
d
y
d
x
=
1
(
1
)
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1\quad \quad (1)}
இவ்வாய்ப்பாட்டை மீண்டும்
x
{\displaystyle x}
d
2
y
d
x
2
⋅
d
x
d
y
+
d
2
x
d
y
2
⋅
(
d
y
d
x
)
2
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0}
d
2
y
d
x
2
⋅
d
x
d
y
=
−
d
2
x
d
y
2
⋅
(
d
y
d
x
)
2
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}
d
x
d
y
=
1
d
y
d
x
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}}
d
2
y
d
x
2
=
−
d
2
x
d
y
2
⋅
(
d
y
d
x
)
3
(
2
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}\quad \quad (2)}
d
2
x
d
y
2
=
−
d
2
y
d
x
2
(
d
y
d
x
)
3
(
∗
∗
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}{({\frac {dy}{dx}})^{3}}}\quad \quad (**)}
லாக்ராஞ்சியின் குறியீட்டில்:
(
f
−
1
)
″
(
y
)
=
−
f
″
(
y
)
[
f
′
(
y
)
]
3
{\displaystyle \left(f^{-1}\right)''(y)={\frac {-f''(y)}{[f'(y)]^{3}}}}
முடிவு (2) ஐ மீண்டும்
x
{\displaystyle x}
d
3
y
d
x
3
=
−
d
3
x
d
y
3
⋅
(
d
y
d
x
)
4
−
3
d
2
x
d
y
2
⋅
d
2
y
d
x
2
⋅
(
d
y
d
x
)
2
{\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}
இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த,
d
3
y
d
x
3
=
−
d
3
x
d
y
3
⋅
(
d
y
d
x
)
4
+
3
(
d
2
x
d
y
2
)
2
⋅
(
d
y
d
x
)
5
{\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}
d
3
x
d
y
3
=
−
d
3
y
d
x
3
+
3
(
d
2
x
d
y
2
)
2
⋅
(
d
y
d
x
)
5
(
d
y
d
x
)
4
(
∗
∗
∗
)
{\displaystyle {\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}={\frac {{\frac {-d^{3}y}{dx^{3}}}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}}}\quad \quad (***)}
இவ்வாய்ப்பாடுகளின் பொதுமைப்படுத்தலே ஃபா டி புருனோ வின் வாய்ப்பாடு ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு
தொகு
![{\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/662f1be67eb38c8d7ecf30fd8afda594671fbeec)
![{\displaystyle \left(f^{-1}\right)''(y)={\frac {-f''(y)}{[f'(y)]^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf58b29206b712c4075fd131a6515bb769fbd165)
