வகையிடலின் குறியீடு

வகையிடலின் குறியீடு (notation for differentiation) என்பது ஒரு சார்பினை வகையிடும் செயலைக் குறிப்பதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் அடையாளக் குறியாகும். கணிதவியலாளர்களால் வகையிடலைக் குறிப்பதற்குப் பலவகையான குறியீடுகள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. ஒவ்வொரு குறியீடும் வெவ்வேறு சூழ்நிலைகளில் பொருத்தமானதாக உள்ளன. லைப்னிட்சின் குறியீடு, லாக்ராஞ்சியின் குறியீடு, நியூட்டனின் குறியீடு, ஆய்லரின் குறியீடு ஆகியவை அதிகப் பயன்பாட்டிலுள்ள குறியீடுகள்.

லைப்னிட்சின் குறியீடு

லைப்னிட்சால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட வகையிடல் குறியீடு கணிதவியல் முழுவதும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சாரா மாறி x , சார் மாறி y ஆகிய இரண்டுக்கும் இடையிலான தொடர்பைக் குறிப்பதாக y = f(x) சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்ளும் இடங்களில் லைப்னிட்சின் குறியீடு வகையிடலுக்கு அதிகம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இக்குறியீட்டின்படி:

x ஐப் பொறுத்த y இன் முதல் வகைக்கெழு:

{\frac {dy}{dx}}

{\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}{\bigl (}f(x){\bigr )}

உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்:

y = f(x) இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு

{\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {d^{2}}{\left(dx\right)^{2}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}

y = f(x) இன் மூன்றாம் வகைக்கெழு

{\frac {d{\Bigl (}{\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}{\Bigr )}}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{3}{\bigl (}f(x){\bigr )}={\frac {d^{3}}{dx^{3}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}

y = f(x) இன் n ஆம் வகைக்கெழு

{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx^{n}}},{\text{ or }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}

x = a புள்ளியில் y இன் வகைக்கெழுவை லைபினிட்சின் குறியீட்டில் இருவிதமாக எழுதலாம்:

\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).

இக்குறியீட்டில் எந்த மாறியைப் பொறுத்து வகையிடப்படுகிறதோ அம்மாறி பகுதியில் குறிப்பிடப்படுகிறது. பகுதி வகையிடலில் இது பெரிதும் உதவியாய் இருக்கிறது. சங்கிலி விதியை நினைவில் கொள்ளவும் எளிதாக உள்ளது:^[1]

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.

லாக்ராஞ்சியின் குறியீடு

f ʹ(x) f ʺ(x)

வகையிடலுக்குத் தற்காலத்தில் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படும் குறியீடு லாக்ராஞ்சியின் குறியீடாகும்.

லாக்ராஞ்சியால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட இக்குறியீட்டின் படி:

f இன் முதல் வகைக்கெழு

(f)'=f'\,

இரண்டாம் வகைக்கெழு

(f')'=f''\,

மூன்றாம் வகைகெழு

(f'')'=f'''\,

இதற்கும் மேற்பட்ட வகைக்கெழுக்களைக் குறிப்பதற்குச், சிலர் மேலெழுத்தாக ரோமன் எண்ணுருக்களையும் வேறு சிலர் எண்களை மேலெழுத்தாக, அடைப்புக் குறிக்குள்ளும் எழுதுகின்றனர்:

நான்காம் வகைக்கெழு

f^{\mathrm {iv} }\,\!

அல்லது

f^{(4)}\,\!

f இன் n ஆம் வகைக்கெழு

f^{(n)}\,\!

வகையிடலை ஒரு சார்பாகக் கருதும்போது லைபினிட்சின் குறியீட்டை விட இக்குறியீடு பொருத்தமானதாகவும் வசதியானதாகவும் இருக்கும்.

ஆய்லரின் குறியீடு

D_xy D²f

வகையிடலில் ஆய்லரின் குறியீடு, D என்னும் வகையீட்டுச் செயலியைக் கொண்டுள்ளது.

இக்குறியீட்டின்படி:

f இன் முதல்வகைக்கெழு

Df\,

இரண்டாம் வகைக்கெழு

D^{2}f\,

....

n ஆம் வகைக்கெழு

D^{n}f\,

y = f(x) எனில், D உடன் இணைத்து சாரா மாறி x எழுதப்படுகிறது:

D_{x}y\,

அல்லது

D_{x}f(x)\,

,

D_{x}^{2}y\;

அல்லது

D_{x}^{2}f(x)\,

D_{x}^{n}y\;

அல்லது

D_{x}^{n}f(x)\,

ஒரே மாறியில் அமைந்த சார்பாக இருப்பின் கீழெழுத்தான x ஐ விட்டுவிட்டும் எழுதலாம்.

நேரியல் வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளை எழுதுவதற்கும் தீர்வு காண்பதற்கும் ஆய்லரின் குறியீடு பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

நியூட்டனின் குறியீடு

ẋ ẍ

வகையிடலுக்கு நியூட்டன் அறிமுகப்படுத்திய குறியீட்டில் ஒரு சார்பின் முதல் வகைக்கெழுவைக் குறிக்க அச்சார்பின் பெயர் மீது ஒரு புள்ளியும் இரண்டாம் வகைக்கெழுவைக் குறிக்க இரண்டு புள்ளிகளும் இடப்படுகின்றன. இக்குறியீடு பெரும்பாலும் திசைவேகம், முடுக்கம் போன்ற நேரத்தைப் பொறுத்த வகைக்கெழுக்களைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

முதல் வகைக்கெழு

{\dot {y}}={\frac {dy}{dt}}

இரண்டாம் வகைக்கெழு

{\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}

...

நேரம் t இன் சார்புகளுக்கு இக்குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இக்குறியீடு முக்கியமாக இயக்கவியலிலும் சாதாரண வகையீட்டுச் சமன்பாட்டுக் கோட்பாட்டிலும் பயன்படுகிறது.

இதர குறியீடுகள்

f_x f_xy

வகையிடலைக் குறிப்பதற்கு வேறு சில குறியீடுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

f(x) சார்புடன் கீழெழுத்தாக சாரா மாறியைச் சேர்த்து வகைக்கெழுக்களைக் கீழ்க்கண்டவாறு குறிக்கலாம்:

f_{x}={\frac {df}{dx}}

f_{xx}={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.

பல மாறிகளில் அமைந்த சார்பின் பகுதி வகைக்கெழுவைக் காணும்போது இக்குறியீட்டு முறை பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

∂f

∂x

சாதாரண வகைக்கெழுக்களிலிருந்து பகுதி வகைக்கெழுக்களை வேறுபடுத்திக் காட்டுவதற்காக வகையீட்டுச் செயலி d க்குப் பதிலாக "∂" என்ற குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

f(x,y,z) சார்பின் x மட்டும் பொறுத்த பகுதி வகைக்கெழு:

{\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f=\partial ^{x}f,

மேற்கோள்கள்

↑ In the formulation of calculus in terms of limits, the du symbol has been assigned various meanings by various authors. Some authors do not assign a meaning to du by itself, but only as part of the symbol du/dx. Others define dx as an independent variable, and define du by du = dx•f′(x). In non-standard analysis du is defined as an infinitesimal. It is also interpreted as the exterior derivative of a function u. See differential (infinitesimal) for further information.

வெளி இணைப்புகள்

Earliest Uses of Symbols of Calculus, maintained by Jeff Miller.

[1] In the formulation of calculus in terms of limits, the du symbol has been assigned various meanings by various authors. Some authors do not assign a meaning to du by itself, but only as part of the symbol du/dx. Others define dx as an independent variable, and define du by du = dx•f′(x). In non-standard analysis du is defined as an infinitesimal. It is also interpreted as the exterior derivative of a function u. See differential (infinitesimal) for further information.

[1]