நேர்மாற்ற வடிவவியல்

நேர்மாற்றம் என்பது யூக்ளிடிய தளத்தின் உருமாற்றங்களில் ஒரு வகையாகும். பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஒரு நேர்மாற்ற உருமாற்றத்தின்கீழ், மாறாமல் இருக்கக்கூடிய வடிவங்களின் பண்புகளைக் குறித்து அலசும் வடிவவியல் பிரிவு நேர்மாற்ற வடிவவியல் (inversive geometry) என அழைக்கப்படுகிறது. இத்தகைய உருமாற்றங்கள் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வட்டங்களை, பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வட்டங்களாக உருமாற்றுகின்றன. இங்கு, பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வட்டங்கள் என்பது வட்டங்கள் அல்லது கோடுகளைக் குறிக்கும் (கோடுகளை முடிவிலி ஆரங்கொண்ட வட்டங்களாகக் கொள்ளலாம்).

நேர்மாற்றக் கருந்துருவை உயர்பரிமாண வெளிகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம்.

புள்ளியின் நேர்மாறு

• 
  வட்டத்தைப் பொறுத்து புள்ளி P இன் நேர்மாறு P'.
• 
  Ø வட்டத்தின் வெளியேயுள்ள புள்ளி P இன் நேர்மாறுப் புள்ளி P' ஐக் காணல். Ø வட்டத்தின் ஆரம் r. செங்கோண முக்கோணங்கள் OPN , OP'N இரண்டும் வடிவொத்தவை (இரு முக்கோணங்களிலும் ∠NOP பொதுக்கோணமாக உள்ளது). OP : r = r : OP'.

எண்கணிதத்தில் ஒரு எண்ணின் நேமாறு அதன் தலைகீழி ஆகும். வடிவவியலில் வட்டத்தைப் பொறுத்து ஒரு புள்ளியின் நேர்மாறு என்பதும் கிட்டத்தட்ட இதைப் போன்றதொரு கருத்தாகும். ஒரு தளத்திலுள்ள வட்டம் (Ø) இன் மையம் O , ஆரம் r . இவ்வட்டத்தைப் பொறுத்து P என்ற புள்ளியின் நேர்மாறு P' என்ற புள்ளியாகும்.

இந்த நேர்மாறுப் புள்ளி P' ஆனது OP கதிரின் மீது அமைகின்ற ஒரு புள்ளியாகவும் கீழுள்ள முடிவினை நிறைவு செய்யும் வகையிலுமாகவும் இருக்கும்.

$OP\times OP^{\prime }=r^{2}.$

இந்த நேர்மாற்றமானது, வட்ட நேர்மாற்றம் அல்லது தள நேர்மாற்றம் எனப்படும். வட்டமையம் O தவிர்த்து வேறொரு புள்ளி P இன் வட்ட நேர்மாற்ற எதிருரு P' எனில், P' இன் வட்ட நேர்மாற்ற எதிருரு P ஆக இருக்கும். எனவே வட்ட நேர்மாற்றத்தை இருமுறை ஒரு புள்ளியில் (வட்டமையம் அல்லாத புள்ளி) பயன்படுத்தினால் இறுதியான எதிருரு அதே புள்ளியாகவே இருக்கும். அதாவது, இரு வட்ட நேர்மாற்றங்களின் தொகுப்பு ஒரு முற்றொருமை உருமாற்றமாகும்.

நேர்மாற்ற உருமாற்றத்தை சுருள்வாக ஆக்குவதற்காக, வட்டமையமும் முடிவிலிப் புள்ளியும் (அனைத்து நேர்கோடுகளிலும் இறுதியில் அமையும் ஒரு புள்ளி) ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாற்றத்தில் எதிருருக்களாக அமையுமாறு நேர்மாற்றத்தின் வரையறையை நீட்டித்துக் கொள்ளலாம்.

எனவே வட்ட நேர்மாற்றத்தினால்,

• வட்டத்தினுள் அமையும் புள்ளிகளின் எதிருரு வட்டத்திற்கு வெளியிலும், வட்டத்திற்கு வெளியே அமையும் புள்ளிகளின் எதிருரு வட்டத்திற்குள்ளும்
• வட்டத்தின் மேலமையும் புள்ளிகள் மாற்றமடையாமலும்
• வட்டமையமும் முடிவிலிப் புள்ளியும் ஒன்றுக்கொன்று எதிருவாகவும் அமைகின்றன.

வட்டமையத்திற்கு அருகாமையிலுள்ள புள்ளிகளின் எதிருருக்கள் வட்டமையத்திலிருந்து தொலைவிலும், வட்டமையத்திலிருந்து தொலைவிலமையும் புள்ளிகளின் எதிருருக்கள் வட்டமையத்திற்கு அருகாமையிலும் அமைகின்றன.

பண்புகள்

• 
  குறிப்பீட்டு வட்டத்தைப் (சிவப்பு) பொறுத்து அதன் மையம் O வழிச்செல்லும் மற்றொரு வட்டத்தின் (நீலம்) நேர்மாறானது O வழிச்செல்லாத ஒரு கோடாகும் (பச்சை).
• 
  குறிப்பீட்டு வட்டத்தைப் (சிவப்பு) பொறுத்து அதன் மையம் O வழிச்செல்லாத மற்றொரு வட்டத்தின் (நீலம்) நேர்மாறானது O வழிச்செல்லாத ஒரு வட்டமாகும் (பச்சை).
• 
  வட்ட நேர்மாற்றத்தால் ஒரு வட்டத்தின் மையத்தின் எதிருருவானது, எதிருரு வட்டத்தின் மையமாக அமைவதில்லை

ஒரு கணத்திலுள்ள எல்லாப் புள்ளிகளின் வட்ட நேர்மாற்ற எதிருருப் புள்ளிகள் எல்லாம் மற்றொரு கணமாக அமைகின்றன.

வட்ட நேர்மாற்றத்தைப் பயனுள்ளதாக்கும் சில பண்புகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன:

• குறிப்பீட்டு வட்டத்தின் மையம் O வழிச் செல்லும் ஒரு வட்டத்தின் வட்ட நேர்மாற்ற எதிருருவானது, O வழிச் செல்லாத, ஆனால் O இல் நேர்மாற்றத்துக்குட்படும் வட்டத்திற்கு வரையப்படும் தொடுகோட்டிற்கு இணையான கோடாக இருக்கும். மற்றும் இக்கூற்றின் எதிர்மாறுநிலையும் (vice versa) உண்மையாகும். (ஆனால் புள்ளிவாரியான நிலைப்பு இராது).
• குறிப்பீட்டு வட்டத்தின் மையம் O வழிச் செல்லாத ஒரு வட்டத்தின் வட்ட நேர்மாற்ற எதிருருவானது, O வழிச் செல்லாத மற்றொரு வட்டமாகும். குறிப்பீட்டு வட்டமும் நேர்மாற்றமடையும் வட்டமும் வெட்டிக்கொள்ளும் இரண்டு புள்ளிகளும் நேர்மாற்றத்தில் நிலைப்பானவை. எனவே எதிருரு வட்டமானது இவ்விரு புள்ளிகளின் வழிச்செல்லும் வட்டமாக அமைகிறது. ஒரு வட்டமானது (அல்லது கோடு) குறிப்பீட்டு வட்டத்திற்கு, அவையிரண்டும் வெட்டும் புள்ளிகளில் செங்குத்தானதாக ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே’ நேர்மாற்றத்தின்கீழ் நிலைப்பானதாக இருக்கும்.
• k என்ற வட்டத்தைப் பொறுத்து நேர்மாறுகளாக அமையும் இரு வேறுபட்ட புள்ளிகள் A, A' . இவ்விரு புள்ளிகளின் வழியே செல்லும் மற்றொரு வட்டம் q எனில், வட்டங்கள் k , q இரண்டும் ஒன்றுக்குக்கொன்று செங்குத்து வட்டங்களாக இருக்கும்.
• முக்கோணம் OAB இல் உச்சி O ஆனது k வட்டத்தின் மையமாகவும், A' and B' இரண்டும் முக்கோணத்தின் உச்சிகள் A , B இன் k ஐப் பொறுத்த நேர்மாறுப் புள்ளிகளாவும் இருந்தால்:

$\angle OAB=\angle OB'A'\ {\text{ and }}\ \angle OBA=\angle OA'B'.$

• k வட்டத்திற்கு செங்குத்து வட்டங்களாக அமையும் வட்டங்கள் p , q எனில், இவ்வட்டங்கள் இரண்டும் k வட்டத்தைப் பொறுத்து நேர்மாறுகளாக அமையும்.
• m , m' ஆகிய இரு வளைவரைகளின் மீதமையும் புள்ளிகள் M , M' இரண்டும் வட்டம் k ஐப் பொறுத்து நேர்மாறுகளெனில்,

M , M' புள்ளிகளில் m , m' வளைவரைகளுக்கு வரையப்படும் தொடுகோடுகள் MM' கோட்டிற்கு செங்குத்தாக அமையும். அல்லது MM' ஐ அடிப்பக்கமாகக் கொண்ட இருசமபக்க முக்கோணத்தினை அமைக்கும்.

• நேர்மாற்றத்தால் கோணங்களின் அளவுகள் மாற்றமடைவதில்லை; ஆனால் திசைப்போக்குடைய கோணங்களின் திசைப்போக்கு எதிராகிறது.

முப்பரிமாணத்தில் நேர்மாற்றம்

இருபாரிமாணத்தின் வட்ட நேர்மாற்றத்தை முப்பரிமாணங்களில் கோள நேர்மாற்றமாக பொதுமைப்படுத்தலாம்.

முப்பரிமாணத்தில், O -மையமும்; R அலகு ஆரமும் கொண்ட கோளத்தைப் பொறுத்து புள்ளி P இன் நேர்மாற்ற எதிருரு P' பின்வருமாறு அமையும்:

$\scriptstyle OP\times OP^{\prime }=R^{2}$

மேலும் P , P ' இரண்டும் O லிருந்து தொடங்கும் கதிரில் அமையும்.

முப்பரிமாணக் கோள நேர்மாற்றத்தில்:

• குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லாத கோளங்கள் எல்லாம் கோளங்களாக நேர்மாற்றமடைகின்றன.
• குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லும் கோளங்கள் எல்லாம் தளங்களாக நேர்மாற்றமடைகின்றன.
• குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லாத தளமானது குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தைத் அதன் மையத்தில் தொடுகின்ற கோளமாக நேர்மாற்றமடைகிறது.
• கோளத்தை ஒரு தளத்தால் வெட்டுமுகமாகக் கிடைக்கும் வட்டமானது
  • அவ்வட்டம் குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச்செல்லாவிடில் பிறிதொரு வட்டமாக நேர்மாற்றமடைகிறது.
  • அவ்வட்டம் குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச்சென்றால் ஒரு கோடாக நேர்மாற்றமடைகிறது.
  • இந்த வெட்டுத்தளம் கோளமையத்தின் வழிச்சென்றால் நேர்மாற்றம் இருபரிமாணத்திற்கானதாகிவிடும்.
  • இந்த வெட்டுத்தளம் கோளமையத்தின் வழிச்செல்லாவ்டில் நேர்மாற்றம் முப்பரிமாணத்திலேயே அமையும்.

மேற்கோள்கள்

• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble, LCCN 52-13504
• Blair, David E. (2000), Inversion Theory and Conformal Mapping, American Mathematical Society, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-8218-2636-0
• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), "Chapter 5: Inversive Geometry", Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 199–260, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-521-59787-0
• Coxeter, H.S.M. (1969) [1961], Introduction to Geometry (2nd ed.), John Wiley & Sons, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-18283-4
• Hartshorne, Robin (2000), "Chapter 7: Non-Euclidean Geometry, Section 37: Circular Inversion", Geometry: Euclid and Beyond, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-98650-2
• Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69-12075

வெளியிணைப்புகள்

• Inversion: Reflection in a Circle at ”cut-the-knot”
• Wilson Stother's inversive geometry page
• IMO Compendium Training Materials practice problems on how to use inversion for math olympiad problems
• Weisstein, Eric W., "Inversion", MathWorld.
• Visual Dictionary of Special Plane Curves Xah Lee