கோளத்தில் நேர்மாற்றம்

முப்பரிமாணத்தில் கோளத்தில் நேர்மாற்றம் அல்லது கோள நேர்மாற்றம் (inversion in a sphere) என்பது ஒரு கோளத்தின் உட்புறத்தை வெளிப்புறமாகவும், வெளிப்புறத்தை உட்புறமாகவும் மாற்றும் உருமாற்றம் ஆகும். இந்த நேர்மாற்றத்தில், கோளத்தின் மேலமையும் புள்ளிகள் மட்டுமே நிலைப்புப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.

வரையறை

கோள நேர்மாற்றமானது பெரும்பாலும் வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமையைப் பயன்படுத்தி எளிதாக விவரிக்கப்படுகிறது. கோளத்தின் மையம் ஆள்கூற்று முறைமையின் ஆதிப்புள்ளியில் இருக்குமாறும், கோளத்தின் ஆரத்தை ஓரலகாகவும் எடுத்துக்கொண்டால், எல்லாப் புள்ளிகளையும் rv வடிவில் எழுதலாம். இதில், ஆதியிலிருந்து புள்ளி அமையும் தொலைவு r அலகு; v அலகு திசையன். மேலும் ஆதியைத் தவிர்த்த பிற புள்ளிகள் அனைத்தின் இந்தக் குறியீடும் தனித்துவமானதாகும். இம்முறையில் குறிக்கப்படும் ஒரு புள்ளியின் நேர்மாறின் குறியீடு r⁻¹v. கோளத்தின் மையத்தின் நேர்மாறு இவ்வாறு வரையறுக்கப்படவில்லை என்றாலும் அதனை முடிவிலிப் புள்ளியாகக் கொள்ளலாம்.

பண்புகள்

கோள நேர்மாற்றமானது தனக்குத்தானே நேர்மாறு ஆகும். இந்நேர்மாற்றத்தில்,

குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மீதமையும் புள்ளிகள் நிலைப்புத்தன்மை கொண்டவை.
ஒரு கோட்டின் நேர்மாறு, குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லும் வட்டமாகும். இக்கூற்றின் எதிர்மாறும் (vice versa) உண்மையாக இருக்கும்.
ஒரு தளத்தின் நேர்மாறு, குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லும் மற்றொரு கோளமாகும். இக்கூற்றின் எதிர்மாறும் உண்மையாக இருக்கும்.
மற்றபடி, ஒரு வட்டத்தின் நேர்மாறு, வட்டமாகவும், கோளத்தின் நேர்மாறு, கோளமாகவும் இருக்கும்.

நிறுவல்கள்

குறிப்பீட்டுக் கோளம் Σ என்க. குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O, ஆரம் r. இக்கோளம் {O, r} எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

நிறுவலில் பயன்படுத்தப்படும் மூன்று எளிய முடிவுகள்

வடிவொத்த முக்கோணங்கள்
அரைவட்டத்தில் அமையும் கோணம், செங்கோணம் (90^o).
ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180^o, எனவே ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிக்கோணத்தின் அளவு முக்கோணத்தின் மற்ற இரு உட்கோணங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

நிறுவலுக்குத் தேவையான முடிவுகள்

குறிப்பீட்டுக் கோள மையம் O லிருந்து n (> 0) அலகு தூரத்தில் அமையும் புள்ளி P.
OP.OP' = r² என்ற முடிவை நிறைவு செய்யுமாறு OP கதிரில் புள்ளி P' இருந்தால், P, P' இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறுப் புள்ளிகளாகும்.
n > r எனில், OP' < r ஆகும். எனவே P', Σ இன் உட்புறம் அமையும் (எதிர்மாறு கூற்றும் உண்மை).
Σ இன் மீதமையும் புள்ளிகள் மட்டுமே கோள நேர்மாற்றத்தில் தன் -நேர்மாறுப் புள்ளிகள் ஆகும்..

புள்ளியின் நேர்மாறு

குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் வெளிப்புறத்திலுள்ள புள்ளியின் நேர்மாறு கோளத்தின் உட்புறத்தில் அமையும் புள்ளியாகவும், குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் உட்புறத்திலுள்ள புள்ளியின் நேர்மாறு கோளத்தின் வெளிப்புறத்தில் அமையும் புள்ளியாகவும் இருக்கும்.

குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மீதுள்ள புள்ளிகள் நிலையானவை.

வெளிப்புறப்புள்ளியின் நேர்மாறு

Fig 1

குறிப்பீட்டுக் கோளத்திற்கு வெளியேயுள்ள புள்ளி P. OP இன் வழிச் செல்லும் தளமொன்றில், P லிருந்து குறிப்பீட்டுக் கோளத்துக்கு இரு தொடுகோடுகள் வரையப்படுகின்றன. அவை கோளத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் S, T.
இவ்விரு புள்ளிகளை இணைத்து வரையப்படும் நாண் ST மற்றும் OP இரண்டும் சந்திக்கும் புள்ளி P'.
இப்போது செங்கோண முக்கோணங்கள் OPT, OTP' இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். எனவே

OP/OT = OT/OP'

ஃ P இன் நேர்மாறு P'

எனவே கோளத்தின் வெளிப்புறத்திலுள்ள புள்ளியின் நேர்மாறு கோளத்தின் உட்புறத்தில் அமைகிறது.

உட்புறப்புள்ளியின் நேர்மாறு

குறிப்பீட்டுக் கோளத்திற்கு உள்ளேயுள்ள புள்ளி P. OP இன் வழிச் செல்லும் தளமொன்றில், OP க்கு P இல் செங்குத்தாக இருக்குமாறு குறிப்பீடுக் கோளத்திற்கு நாண் ஒன்று வரையப்படுகிறது. இந்நாண் கோளத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் S, T.
S, T இல் குறிப்பீட்டுக் கோளத்திற்கு வரையப்படும் தொடுகோடுகள் இரண்டும் சந்திக்கும் புள்ளி P'
செங்கோண முக்கோணங்கள் OPT, OTP' இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். எனவே

OP/OT = OT/OP'

ஃ P இன் நேர்மாறு P'

அதாவது கோளத்தின் உட்புறத்திலுள்ள புள்ளியின் நேர்மாறு கோளத்தின் வெளிப்புறம் அமைகிறது.

இரு புள்ளிகளின் நேர்மாறு

Fig 2

எடுத்துக்கொள்ளப்படும் இருபுள்ளிகள் A, B இன் நேர்மாறுகள் A', B' எனில்; OA'.OA = r², OB'.OB = r².
எனவே OA'/OB' = OB/OA.
∠AOB = ∠B'OA' என்பதால், முக்கோணங்கள் AOB, B'OA' இரண்டும் வடிவொத்தவை.
ஃ ∠OAB = ∠OB'A', ∠OBA = ∠OA'B'. (இம்முடிவு பின்வரும் நிறுவல்களில் பயன்படுத்தப்ப்பட்டுள்ளது)

கோட்டின் நேர்மாறு

பொதுவாக ஒரு கோட்டின் நேர்மாறானது, நேர்மாற்ற மையத்தின் (குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின்) வழிச்செல்லும் வட்டமாக இருக்கும்.

எனினும்,

கோடானது குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழியே செல்லுமானால் அக்கோடு தன்-நேர்மாறாக இருக்கும்.
கோடானது குறிப்பீட்டுக் கோளம் Σ ஐ வெட்டும் கோடாக இருந்தால், அவை வெட்டிக்கொள்ளும் இரு புள்ளிகள் மட்டுமே தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.

குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டாத ஒரு கோட்டின் நேர்மாறு

Fig 3

குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O லிருந்து கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் அடி P; அதன் நேர்மாறு P'.
கோட்டின் மீதமையும் ஏதேனுமொரு புள்ளி X; அதன் நேர்மாறு X'.
மேலே தரப்பட்டுள்ள ”இரு புள்ளிகளின் நேர்மாறு”-இன் முடிவின்படி, ∠OX'P' = ∠OPX = 90^o.
∠OPX = 90^o என்பதால்

∠OX'P' = 90^o

X' புள்ளியானது, OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் மீதமையும் ஆகும் (அரைவட்டத்தில் அமையும் கோணம் செங்கோணம்).
X ஐப் போன்றே கோட்டின் மீதுள்ள பிற புள்ளிகளின் நேர்மாறுகளும் OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிகளாகும்.

எனவே இக்கோட்டின் நேர்மாறு குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச்செல்லும் ஒரு வட்டமாகும்.

தளத்தின் நேர்மாறு

பொதுவாக, ஒரு தளத்தின் நேர்மாறு குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லும் கோளமாக இருக்கும்.

எனினும்,

எடுத்துக்கொள்ளப்படும் தளத்தில் குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O அமைந்தால், அத்தளமானது தன்-நேர்மாறு ஆகும்.
எடுத்துக்கொள்ளப்படும் தளமானது குறிப்பீட்டுக் கோளம் Σ ஐ வெட்டுமானால், அவை இரண்டும் வெட்டிக்கொள்ளும் வட்டத்தின் மீதுள்ள எல்லாப் புள்ளிகள் தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாகும்.

குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டாத தளத்தின் நேர்மாறு

குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O லிருந்து தளத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் அடி P; P இன் நேர்மாறு P'.
தளத்தின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X'.
இப்பொழுது இரு புள்ளிகளின் நேர்மாறுகளின் முடிவின் படி,

∠OX'P' = ∠OPX

ஆனால் ∠OPX = 90^o
எனவே ∠OX'P' = 90^o
ஃ OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின் மீது X' இருக்கும்.(அரைவட்டத்தில் அமையும் கோணம் செங்கோணம்)

X ஐப் போன்றே தளத்தின் மீதுள்ள பிற புள்ளிகளின் நேர்மாறுகளும் OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின் மீதுள்ள புள்ளிகளாகும்.

எனவே இத்தளத்தின் நேர்மாறு குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச்செல்லும் ஒரு கோளமாகும்.

கோளத்தின் நேர்மாறு

பொதுவாக, ஒரு கோளத்தின் நேர்மாறு ஒரு கோளமாகவே இருக்கும்.

எனினும், குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழியாகச் செல்லும் கோளத்தின் நேர்மாறு ஒரு தளமாக இருக்கும்.

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட கோளம் {A, a} என்க. அதாவது இக்கோளத்தின் மையம் A, ஆரம் a > 0.

குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை {A, a} கோளம் வெட்டினால்:

அவை வெட்டிக்கொள்ளும் வட்டத்தின் மீதமையும் புள்ளிகள் மட்டுமே தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.

புள்ளி A ஆனது O இல் அமையுமானால்:

கோளம் {A, a} இன் நேர்மாறு ஒரே மையங்கொண்ட கோளமாகவும் அதன் ஆரம் r²/a அலகாகவும் இருக்கும்.

குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழியாகச் செல்லும் கோளத்தின் நேர்மாறு

{A, a} கோளத்தின் மீது குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O அமைகிறது என்க
கோளம் {A, a} இன் மீது O க்கு விட்டவாக்கில் நேரெதிர் புள்ளியாக அமையும் புள்ளி P. அதன் நேர்மாறு P'.
{A, a} கோளத்தின் மீதமையும் ஏதேனும் வேறொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X' .
இப்பொழுது ”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு” முடிவின்படி,

∠OP'X' = ∠OXP

ஆனால், ∠OXP = 90^o
ஃ ∠OP'X' = 90^o
P' வழிச்செல்லும், OP'. க்குச் செங்குத்தான தளத்தின்மீது X' அமையும்.
மேலும் {A, a} கோளத்தின் மீதமையும் ஏனைய பிற புள்ளிகளுக்கும் இது உண்மையாகும்.

எனவே நேர்மாற்றப்படும் கோளம் குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச் செல்லும்போது அதன் நேர்மாறு ஒரு தளமாகும்.

குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டாத கோளத்தின் நேர்மாறு

{A, a} கோளத்தை OA வெட்டும் புள்ளிகள் S, T மற்றும் அவற்றின் நேர்மாறுப் புள்ளிகள் S', T'.
{A, a} இன் விட்டம் ST .

{A, a} கோளத்தின் மீதமையும் ஏதேனுமொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X'.

இப்பொழுது ”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு” முடிவின்படி

∠OXT = ∠OT'X',

∠OXS = ∠OS'X'.

நிலை1

O இன் ஒரே பக்கத்தில் T, S அமைகிறது

Fig 4

∠T'X'S' = ∠OX'S' − ∠OX'T'

= ∠OSX − ∠OTX (”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு” முடிவின்படி).

= ∠TXS (முக்கோணத்தின் ஒரு வெளிக்கோணம் மற்ற இரு உட்கோணங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்)

ஆனால் ∠TXS = 90^o (அரைவட்டத்திலமையும் கோணம் செங்கோணம்)
ஃ ∠T'X'S' = 90^o
எனவே T'S' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின்மீது X' அமைகிறது.
{A, a} கோளத்தின் மீதமையும் எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.

எனவே {A, a} கோளத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு கோளமாகும்.

நிலை 2

O இன் எதிர்ப்புறங்களில் T, S அமைகிறது

Fig 5

∠OXT + ∠OXS = 90^o (அரைவட்டத்திலமையும் கோணம் செங்கோணம்).
∠T'X'S' = ∠OX'T' + ∠OX'S'

= ∠OTX + ∠OSX (”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு”).

= 180^o − ∠TXS (ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180^o)

∠T'X'S' = 90^o, (அரைவட்டத்திலமையும் கோணம் செங்கோணம்).
T'S' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின்மீது X' அமைகிறது.
{A, a} கோளத்தின் மீதமையும் எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.
எனவே {A, a} கோளத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு கோளமாகும்.

வட்டத்தின் நேர்மாறு

பொதுவாக, ஒரு வட்டத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு வட்டமாகும். எனினும்குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வட்டத்தின் மீது அமையும் போது மட்டும் அவ்வட்டத்தின் நேர்மாறு ஒரு கோடாகும்.

நேர்மாறு காணவேண்டிய வட்டம் c இன் மையம் C, ஆரம் a. மேலும் இவ்வட்டம் அமைந்திருக்கும் தளம் ψ .

இவ்வட்டமானது குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டினால், அவையிரண்டும் வெட்டிக்கொள்ளும் இரு புள்ளிகள் மட்டுமே தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.
குறிப்பீட்டுக் கோளமையம் O லிருந்து வட்டத்தின் மீது, மிக அருகிலமையும் மற்றும் மிகத்தூரத்தில் அமையும் புள்ளிகள் முறையே S, T (i.e. OT > OS). அவற்றின் நேர்மாறுகள் S', T'
வட்டத்தின் மையம் C, குறிப்பீட்டுக் கோளமையமான O இல் அமைந்தால், வட்டத்தின் நேர்மாறு வட்டம், கோளம் இரண்டுடன் ஒரே மையங்கொண்ட மற்றொரு வட்டமாக அமையும். இந்த நேர்மாறு வட்டத்தின் ஆரம் r²/a அலகுகள்

குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வழியாகச் செல்லும் வட்டத்தின் நேர்மாறு

வட்டத்தின் ஒரு விட்டம் OP; P இன் நேர்மாறு P'.
வட்டத்தின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X'.
”இரு புள்ளிகளி நேர்மாறு” முடிவின்படி,

∠OP'X' = ∠OXP = 90^o.

ஃ X இன் நேர்மாறு X' ஆனது OP' க்குச் செங்குத்தாக, வட்டத்தன் தளத்தில் அமையும் கோட்டில் அமைகிறது.
இம்முடிவு வட்டத்தின் மீதுள்ள மற்ற எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் பொருந்தும்
எனவே வட்டத்தின் நேர்மாறானது OP' க்குச் செங்குத்தாக வட்டத்தன் தளத்தில் அமையும் ஒரு கோடாகும்.

அதாவது, குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வழியாகச் செல்லும் வட்டத்தின் நேர்மாறு ஒரு கோடாகும்.

குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வட்டத்தின் தளத்தில் அமையாநிலை

குறிப்பீட்டுக் கோளமையம் O, வட்டத்தின் தளத்தின் (ψ) மீதமையவில்லை

வட்டத்த்தின் தளத்திற்குச் செங்குத்தாக, வட்டமையத்தின் வழியே வரையப்படும் கோட்டிலமையும் இரு புள்ளிகள் A, B
A, B ஐ மையங்களாகக் கொண்டு வட்டத்தின் வழியே செல்லும் இரு கோளங்கள் Λ, Ω. ஆனால் இவையிரண்டும் குறிப்பீட்டுக் கோளமையமான O வழியே செல்லாதவை.
Λ, Ω இன் நேர்மாறுக் கோளங்கள் Λ', Ω'.
வட்டத்தின் நேர்மாறின் மேலுள்ள புள்ளிகள் எல்லாம் Λ' , Ω' இரண்டின் மீதும் அமையும்.
Λ', Ω' கோளங்களின் வெட்டாக அமையும் வட்டமானது (c'), எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வட்டத்தின் (c) நேர்மாறு.

குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வட்டத்தின் தளத்தில் அமையாத போது அவ்வட்டத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு வட்டமாகும்.

குறிப்பு

குறிப்பீட்டுக் கோள மையம் வட்டத்தின் தளத்தில் அமையுமானால், எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வட்டமானது {C, a} கோளத்தின் பெரு வட்டமாகும். இந்நிலையில் கோளத்தின் நேர்மாறு காணும் முறையில் வட்டத்தின் நேர்மாறு காணலாம்.

மேற்கோள்கள்

வெளியிணைப்புகள்

Weisstein, Eric W. "Inversion Sphere." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/InversionSphere.html
Inversion Theory and Conformal Mapping