பகாக் காரணி

எண் கோட்பாட்டில் ஒரு நேர் முழு எண்ணின் பகாக் காரணிகள் அல்லது பகாத்தனி காரணிகள் அல்லது பகாஎண் காரணிகள் (prime factors) என்பவை அந்த முழுஎண்ணை மீதமின்றி வகுக்கக்கூடிய பகா எண்களாகும் (அவை வெவ்வேறான பகா எண்களாக இருக்கவேண்டியதில்லை).

எடுத்துக்காட்டு:

4 இன் பகாக் காரணிகள்: 2, 2
6 இன் பகாக் காரணிகள்: 2, 3
10 இன் பகாக் காரணிகள்: 2, 5
48 இன் பகாக் காரணிகள்: 2, 2, 2, 2, 3

பகாக் காரணியாக்கம்

ஒரு நேர் முழுஎண்ணின் பகாக் காரணிகளை அவற்றின் மடங்கெண்ணுடன் பட்டியலிடுவதே அந்த எண்ணின் ’பகாத்தனி காரணியாக்கம்’ ஆகும். எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின்படி ஒவ்வொரு நேர்முழுஎண்ணிற்கும் ஒரேயொரு தனித்த பகாத்தனி காரணியாக்கம் மட்டுமே சாத்தியமாகும். பகாத்தனி காரணியாக்கத்தைச் சுருக்கமாகக் குறிப்பதற்காக மீளும் காரணிகள் அவற்றின் அடுக்குகளாக எழுதப்படலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

360=2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 5=2^{3}\times 3^{2}\times 5,

.

மடங்கெண்

ஒரு நேர் முழுஎண் n இன் பகாக்காரணி p எனில் n ஐ p^a ஆனது மீதமின்றி வகுக்குமாறு அமையும் a இன் மீப்பெரிய மதிப்பு, p இன் மடங்கெண் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு:

எண் 56 இன் காரணியாக்கம்:

56=2\times 2\times 2\times 7=2^{3}\times 7

இதில் பகாக்காரணியான எண் 2, மூன்றுமுறை வருவதால் அதன் மடங்கெண் 3 ஆகும்.

எண் 81 இன் காரணியாக்கம்:

81=3\times 3\times 3\times 3=3^{4}

இதில் பகாக்காரணியான எண் 3, நான்குமுறை வருவதால் அதன் மடங்கெண் 4 ஆகும்.

முழுவர்க்க எண்களின் அனைத்து பகாக் காரணிகளுக்கும் மடங்கெண்கள் இரட்டையெண்ணாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

12^{2}=144=2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3=2^{4}\times 3^{2}.

அதாவது,

144=2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3=(2\times 2\times 3)\times (2\times 2\times 3)=(2\times 2\times 3)^{2}=(12)^{2}.

ஒரு நேர் முழுஎண்ணுக்கு அதன் ஒவ்வொரு பகாக்காரணியின் மடங்கெண்ணும் இரட்டையெண்ணாக இருந்தால் அந்த முழுஎண்ணை அதனைவிடச் சிறியதானதொரு எண்ணின் வர்க்கமாக எழுதலாம். இதேபோல கனங்களின் பகாக்காரணிகளின் மடங்கெண்கள் மூன்றாக இருக்கும்.

சார்பகா எண்கள்

ஒன்றுக்கொன்று பொதுவான பகாக் காரணிகள் இல்லாத நேர் முழுஎண்கள் சார்பகா எண்கள் எனப்படும். இரு சார்பகா எண்களின் மீபொவ 1 ஆக இருக்கும். எண் 1 க்கு பகாக் காரணிகளே இல்லாததால் அது தனக்கும் மற்றும் ஒவ்வொரு நேர் முழுஎண்ணுக்கும் சார்பகா எண்ணாக அமைகிறது. அதாவது, மீபொவ(1, b) = 1, b ≥ 1.

பகாக் காரணி

உள்ளடக்கம்