பாத முக்கோணம்

பாத முக்கோணம் (pedal triangle) என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் மீது ஒரு புள்ளியை வீழ்த்துவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

P -புள்ளியிலிருந்து முக்கோணம் ABC (கருப்பு) இன் பக்கங்களுக்கு வரையப்படும் செங்குத்துகளின் (நீலம்) அடிப்புள்ளிகளை இணைக்கக் கிடைக்கும் முக்கோணம் LMN (சிவப்பு) பாத முக்கோணம் ஆகும்.

முக்கோணம் ABC இன் பக்கங்களின் மீது P என்ற புள்ளியை வீழ்த்தும்போது, அதாவது P லிருந்து முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்திற்கும் செங்குத்துகள் வரையப்படும்பொழுது, அச்செங்குத்துகளின் அடிப்புள்ளிள் L, M, N எனில், இம்மூன்று புள்ளிகளையும் இணைத்து வரையப்படும் முக்கோணம் LMN பாத முக்கோணம் ஆகும்.

P புள்ளியைப் பொறுத்து பாத முக்கோணம் ABC முக்கோணத்தின் சில சிறப்புவகை முக்கோணங்களாகவும் அமையும்:

• P = செங்கோட்டுச்சந்தி எனில், LMN = ஆர்த்திக் முக்கோணம்.
• P = உள்வட்டமையம் எனில், LMN = உள்தொடு முக்கோணம்

ABC முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின்மீது புள்ளி P அமையும்பொழுது பாத முக்கோணம் ஒரு கோடாக (சிவப்பு) அமைகிறது.

• ABC முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின்மீது புள்ளி P அமையும்பொழுது பாத முக்கோணம் ஒரு கோடாகி விடுகிறது. இக்கோடு பாதக் கோடு (pedal line) என்றும் சில சமயங்களில் கணிதவியலாளர் ராபர்ட் சிம்சனின் பெயரால் சிம்சன் கோடு (Simson line) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

மூல முக்கோணத்தின் உட்புறமாக அமையும் புள்ளி P இன் பாத முக்கோணத்தின் உச்சிகள் மூல முக்கோணத்தின் பக்கங்களைக் கீழே தரப்பட்டுள்ள முடிவை நிறைவு செய்யும் விதமாகப் பிரிக்கின்றன.

$AN^{2}+BL^{2}+CM^{2}=NB^{2}+LC^{2}+MA^{2}.$

முந்நேரியல் ஆட்கூறுகள்

புள்ளி P இன் முந்நேரியல் ஆட்கூறுகள் p : q : r எனில், பாத முக்கோணத்தின் உச்சிகள் L, M, N இன் முந்நேரியல் ஆட்கூறுகள்:

• L = 0 : q + p cos C : r + p cos B
• M = p + q cos C : 0 : r + q cos A
• N = p + r cos B : q + r cos A : 0

எதிர்பாத முக்கோணம்

மூல முக்கோணம் ABC இன் உச்சிகளையும் புள்ளி P ஐயும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் AP, BP, CP. இம்மூன்று கோட்டுத்துண்டுகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் P லிருந்து வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடுகள் மூன்றும் இரண்டிரண்டாக வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளிகள் (L ' M ' N ') மூன்றையும் இணைத்து வரையப்படும் முக்கோணமே P இன் எதிர்பாத முக்கோணம் ஆகும்.

எதிர்பாத முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் முந்நேரியல் ஆட்கூறுகள்:

• L' = − (q + p cos C)(r + p cos B) : (r + p cos B)(p + q cos C) : (q + p cos C)(p + r cos B)
• M' = (r + q cos A)(q + p cos C) : − (r + q cos A)(p + q cos C) : (p + q cos C)(q + r cos A)
• N' = (q + r cos A)(r + p cos B) : (p + r cos B)(r + q cos A) : − (p + r cos B)(q + r cos A)

எடுத்துக்காட்டு:

ஒரு முக்கோணத்தின்மூன்று வெளிவட்டமையங்களாலான முக்கோணமானது அந்த மூல முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையத்தின் எதிர்பாத முக்கோணமாக இருக்கும்.

முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் BC, CA, AB,க்களின்இன் நீட்டிப்புகளின் மீது புள்ளி P அமையாதநிலையில், P இன் சமகோண இணையியப் புள்ளி P⁻¹ ஆக இருந்தால்,, P இன் பாத முக்கோணமானது P⁻¹ இன் எதிர்பாத முக்கோணத்துடன் ஒத்தநிலை கொண்டதாயிருக்கும். ஒத்தநிலை மையத்தின் முந்நேரியல் ஆட்கூறுகள்:

ap(p + q cos C)(p + r cos B) : bq(q + r cos A)(q + p cos C) : cr(r + p cos B)(r + q cos A).

P ஒரு முக்கோண மையமாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" இந்த ஒத்தநிலை மையமும் ஒரு முக்கோண மையமாக இருக்கும்.

P இன் பாத முக்கோணம் மற்றும் P⁻¹ இன் எதிர்பாத முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் பெருக்குத்தொகையானது மூல முக்கோணமான முக்கோணம் ABC இன் பரப்பளவின் வர்க்கத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்..

வெளியிணைப்புகள்

• Simson's line பிளாநெட்மேத்தில்
• Mathworld: Pedal Triangle
• Java Applet of the Perpendiculars பரணிடப்பட்டது 2003-01-21 at the வந்தவழி இயந்திரம்
• Simson Line
• Pedal Triangle and Isogonal Conjugacy