பிரித்தானியக் கொடித் தேற்றம்

யூக்ளிடிய வடிவவியலின் பிரித்தானியக் கொடித் தேற்றப்படி (British flag theorem) ABCD செவ்வகத்தின் உட்புறமுள்ள ஒரு புள்ளி P எனில், அப்புள்ளியிலிருந்து செவ்வகத்தின் ஒரு சோடி எதிர்முனைகளின் தொலைவுகளின் வர்க்கங்களின் கூடுதலும் மற்றொரு சோடி எதிர்முனைகளின் தொலைவுகளின் வர்க்கங்களின் கூடுதலும் சமமாக இருக்கும்.

பிரித்தானியக் கொடித் தேற்றத்தின்படி, சிவப்புச் சதுரங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலும் நீலச் செவ்வகங்களில் பரப்பளவுகளின் கூடுதலும் சமம்.

இத்தேற்றத்தின் கூற்றின் சமன்பாட்டு வடிவம்:

$AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.\,$

செவ்வகத்திற்கு வெளிப்புறமுள்ள புள்ளிகளுக்கும் இத்தேற்றத்தின் கூற்று உண்மையாகும். பொதுவாக, யூக்ளிடிய வெளியிலுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளிக்கும் அவ்வெளியில் உட்பதிந்த எந்தவொரு செவ்வகத்துக்கும் இத்தேற்றம் பொருந்தும். P என்ற புள்ளியிலிருந்து ஒரு இணைகரத்தின் ஒவ்வொரு சோடி எதிர் முனைகளுக்குள்ள தொலைவுகளின் வர்க்கங்களின் கூடுதலை ஒப்பிட்டால் அவை சமமாக இருக்காது. அக்கூடுதல்களின் வித்தியாசம் இணைகரத்தின் வடிவமைப்பை மட்டுமே சார்ந்திருக்கும். P புள்ளியின் தேர்வைச் சார்ந்ததிருக்காது.

நிறுவல்

நிறுவலுக்கான படவிளக்கம்

P இலிருந்து செவ்வகத்தின் பக்கங்கள் AB, BC, CD, AD க்கு வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடுகள் அப்பக்கங்களை முறையே W, X, Y , Z புள்ளிகளில் சந்திக்கின்றன. அப்புள்ளிகளை இணைக்கும் நாற்கரம் WXYZ ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம் ஆகும்.

செங்கோண முக்கோணம் AWP இல் பித்தேகோரசு தேற்றம் பயன்படுத்த:

• $AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}$ (WP = AZ)

இதேமுறையில் மற்ற மூன்று முனைகளின் தொலைகளின் வர்க்கங்கள் காண:

• $PC^{2}=WB^{2}+ZD^{2},$
• $BP^{2}=WB^{2}+AZ^{2},$
• $PD^{2}=ZD^{2}+AW^{2}.$

இவற்றின் மூலம் பின்வருமாறு தேற்ற முடிவினைக் காணலாம்:

$AP^{2}+PC^{2}=(AW^{2}+AZ^{2})+(WB^{2}+ZD^{2})=(WB^{2}+AZ^{2})+(ZD^{2}+AW^{2})=BP^{2}+PD^{2}.\,$

பெயர்

ஐக்கிய இராச்சியக் கொடி.

P இலிருந்து செவ்வகத்தின் முனைகளுக்கு வரையப்படும் கோட்டுத்துண்டுகளும், நிறுவலுக்காக வரையப்பட்ட செங்குத்துக்கோடுக்ளும் சேர்ந்து கிட்டத்தட்ட ஐக்கிய இராச்சியத்தின் கொடியின் வடிவை ஒத்தமைவதால், இத்தேற்றம் பிரித்தானியக் கொடித் தேற்றம் என்ற பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.