யூக்ளிடிய தொலைவு

கணிதத்தில் யூக்ளிடிய தொலைவு அல்லது யூக்ளிடிய மெட்ரிக் (Euclidean distance, Euclidean metric) என்பது இரு புள்ளிகளுக்கிடையே உள்ள சாதாரணத் தொலைவு (அளவுகோலால் அளக்கக்கூடிய) ஆகும். இதன் மதிப்பு பித்தகோரசு வாய்ப்பாட்டின் மூலம் கணிக்கப்படுகிறது. இந்த வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் யூக்ளிய வெளியானது ஒரு மெட்ரிக் வெளி ஆகிறது. இதற்குரிய நெறிமமானது, யூக்ளிடிய நெறிமம் என அழைக்கப்படுகிறது. பண்டைய இலக்கியங்களில் மெட்ரிக்கானது ”பித்தகோரசு மெட்ரிக்” எனக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது.

வரையறை

p , q ஆகிய இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் (${\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}$) நீளமே அவற்றுக்கிடையே உள்ள யூக்ளிடிய தொலைவு ஆகும் .

கார்ட்டீசிய ஆள்கூற்று முறைமையில், யூக்ளிடிய n-வெளியிலமையும் p = (p₁, p₂,..., p_n,) q = (q₁, q₂,..., q_n) ஆகிய இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு d :

$\mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\mathrm {d} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+\cdots +(q_{n}-p_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(q_{i}-p_{i})^{2}}}.$

(1)

யூக்ளிடிய n-வெளியில் ஒரு புள்ளியின் நிலையானது ஒரு யூக்ளிடிய திசையன் ஆகும். எனவே p , q இரண்டும் யூக்ளிடிய வெளியின் ஆதியிலிருந்து தொடங்கும் இரு யூக்ளிடிய திசையன்களின் இறுதி முனைப்புள்ளிகளாக இருக்கும். ஒரு திசையனின் யூக்ளிடிய நெறிமம் (யூக்ளிடிய நீளம், அளவு) என்பது அந்தத் திசையனின் நீளத்தைத் தருகிறது:

$\|\mathbf {p} \|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }}$

யூக்ளிடிய வெளியில் திசையிடப்பட்ட கோட்டுத்துண்டால் குறிக்கப்படும் திசையன், குறிப்பிட்ட தொடக்கப்புள்ளி இறுதிப்புள்ளியும் கொண்டது. இதில் தொடக்கப்புள்ளி யூக்ளிடிய வெளியின் ஆதியாகும். ஒரு திசையனின் நீளமானது அதன் தொடக்கப்புள்ளிக்கும் இறுதிப்புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு என்பதால், யூக்ளிடிய நெறிமமானது, யூக்ளிடிய தொலைவின் சிறப்புவகையாக, தொடக்கப்புள்ளிக்கும் இறுதிப்புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட யூக்ளிடிய தொலைவாக உள்ளது.

p , q இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவுத் திசையன்:

$\mathbf {q} -\mathbf {p} =(q_{1}-p_{1},q_{2}-p_{2},\cdots ,q_{n}-p_{n})$

முப்பரிமாண வெளியில் (n=3) இத்திசையன் ${\overrightarrow {pq}}$ எனத் தரப்படுகிறது. p இலிருந்து q விற்கு செல்லும் இந்த அம்புக்குறிக் குறியீடானது, p ஐப் பொறுத்த q இன் நிலையைக் காட்டுகிறது. p , q இரண்டும் ஒரே புள்ளியின் தொடர்ந்த இரு வெவ்வேறு நேரங்களின் நிலையைத் தருமானால் ${\overrightarrow {pq}}$, அப்புள்ளியின் இடப்பெயர்ச்சியைக் குறிக்கும் திசையனாகிறது.

p , q இரண்டிற்கும் இடைப்பட்ட யூக்ளிடிய தொலைவானது இந்த இடப்பெயர்ச்சி திசையனின் யூக்ளிடிய நீளமாகும்:

$\|\mathbf {q} -\mathbf {p} \|={\sqrt {(\mathbf {q} -\mathbf {p} )\cdot (\mathbf {q} -\mathbf {p} )}}.$

(2)

$\|\mathbf {q} -\mathbf {p} \|={\sqrt {\|\mathbf {p} \|^{2}+\|\mathbf {q} \|^{2}-2\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} }}.$

ஒரு பரிமாணம்

ஒரு பரிமாணத்தில் மெய்யெண் கோட்டின் மீதமையும் இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவானது அவ்விரு புள்ளிகள் குறிக்கின்ற இரு மெய்யெண்களின் வித்தியாசத்தின் தனி மதிப்பு ஆகும்.

மெய்யெண் கோட்டின் மீதமைந்த இரு புள்ளிகள் x , y எனில், இவற்றுக்கிடைப்பட்ட தொலைவு:

${\sqrt {(x-y)^{2}}}=|x-y|.$

இரு பரிமாணம்

இரு பரிமாண யூக்ளிடிய தளத்தில், p = (p₁, p₂), q = (q₁, q₂) ஆகிய இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு:

$\mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}}}.$

இது பித்தகோரசு தேற்ற முடிவை ஒத்துள்ளது.

p , q புள்ளிகளின் போலார் ஆயகூறுகள் (r₁, θ₁),(r₂, θ₂) எனில் சமன்பாடு (2) இன்படி, அப்புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு:

${\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}.$

முப்பரிமாணம்

முப்பரிமாண யூக்ளிடிய வெளியில் p = (p₁, p₂, p₃), q = (q₁, q₂, q₂) ஆகிய இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு:

$d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.$

N பரிமாணம்

யூக்ளிடிய n-பரிமாண வெளியிலமையும் p = (p₁, p₂,..., p_n,) q = (q₁, q₂,..., q_n) ஆகிய இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு:

$d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+...+(p_{i}-q_{i})^{2}+...+(p_{n}-q_{n})^{2}}}.$

வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட யூக்ளிடிய தொலைவு

அதிகளவு தொலைவிலமையும் பொருள்களுக்காக யூக்ளிடிய தொலைவு வர்க்கப்படுத்தப்படுகிறது:

$d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+...+(p_{i}-q_{i})^{2}+...+(p_{n}-q_{n})^{2}.$

வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட யூக்ளிடிய தொலைவு முக்கோணச் சமனிலியை நிறைவு செய்யாமையால், அது ஒரு மெட்ரிக் அல்ல. எனினும் தொலைவுகள் மட்டுமே ஒப்பீடு செய்யப்படுகின்ற உகமம்காணும் கணக்குகளில் (optimization problems) இது பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மேற்கோள்கள்

• Deza, Elena; Deza, Michel Marie (2009). Encyclopedia of Distances. Springer. p. 94.
• "Cluster analysis". March 2, 2011. Archived from the original on மே 1, 2015. பார்க்கப்பட்ட நாள் செப்டம்பர் 28, 2014. {{cite web}}: Check date values in: |access-date= (help)
• Weisstein, Eric W. "Distance." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Distance.html
• Weisstein, Eric W. "Euclidean Metric." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/EuclideanMetric.html