மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு

கணிதத்தில் மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு (least integer function) என்பது மெய்யெண்களின் மீது வரையறுக்கப்பட்டதொரு சார்பு. இச்சார்பின் கீழ் ஒரு மெய்யெண் x இன் சார்பலன் அம்மெய்யெண்ணை விடப் பெரிய முழுஎண்களுக்குள் மிகச்சிறிய முழுஎண் ஆகும்.. மேல்மட்டச் சார்பு (ceiling function) எனவும் இச்சார்பு அழைக்கப்படுகிறது. இதன் குறியீடு $\lceil x\rceil .$ எடுத்துக்காட்டாக,

• $\lceil 3.1\rceil =4$
• $\lceil -3\rceil =-3$
• $\lceil -3.1\rceil =-3$

மீச்சிறு முழுஎண் சார்பின் வரைபடம்

குறியீடு

கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ் இருபடி நேர்எதிர்மை -குறித்த தனது மூன்றாவது நிறுவலில் (1808) மீப்பெரு முழுஎண் சார்புக்கு சதுர அடைப்புக் குறியீட்டைப் ($[x]\,$) பயன்படுத்தினார் கென்னத் இ. ஐவர்சன் 1962 ஆம் ஆண்டு மீப்பெரு முழுஎண் சார்பு மற்றும் மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு ஆகிய இரு சார்புகளையும், மற்றும் அவற்றின் குறியீடுகளாக $\lfloor x\rfloor ,$ $\lceil x\rceil$ ஆகிய இரண்டையும் அறிமுகப்படுத்தும்வரை இக்குறியீடே பயன்படுத்தப்பட்டு வந்தது. தற்போது இருவிதமான குறியீடுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

வரையறையும் பண்புகளும்

மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது

$\lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.$

ஓரலகு நீளமுள்ள பாதி திறந்த இடைவெளியில் ஒரேயொரு முழுஎண் மட்டுமே இருக்கும் என்பதால், x என்ற மெய்யெண்ணுக்கு,

$x-1<m\leq x\leq n<x+1.\;$

என்றவாறு m , n என இரு தனித்த முழுஎண்கள் அமைகின்றன. இதனைப் பயன்படுத்தி மீச்சிறு முழுஎண் சார்பின் வரையறையைப் பின்வருமாறும் கூறலாம்:

$\;\lceil x\rceil =n\;$

• $\lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n\;$ (n ஒரு முழு எண்)
• $\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1\leq \;\lceil x+y\rceil \;\leq \;\lceil x\rceil +\lceil y\rceil \;$ (x, y இரு மெய்யெண்கள்)
• ${\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }=\lceil x\rceil$ (மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு ஒரு தன்னடுக்குச் சார்பு)

மீப்பெரு முழுஎண் சார்புடன் தொடர்பு

• $\lceil x\rceil \geq \lfloor x\rfloor \,$

x முழு எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இதில் சமக்குறி உண்மையாகும். அதாவது:

$\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}\,$

• ${\begin{aligned}\lceil -x\rceil +\lfloor x\rfloor &=0\\\lceil -x\rceil &=-\lfloor x\rfloor \\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}\,$

• $\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}\,$

• $\lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}\,$

தொடர்ச்சி

மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு தொடர்ச்சியான சார்பல்ல; எனினும் அது கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகவும் துண்டுவாரி மாறிலிச் சார்பாகவும் அமையும். கட்டுரையின் தொடக்கத்தில் தரப்பட்டுள்ள வரைபடத்திலிருந்து இவ் விவரத்தைக் காணலாம்.

வெளி இணைப்புகள்

விக்கிமீடியா பொதுவகத்தில்,
மீப்பெரு மற்றும் மீச்சிறு சார்புகள்
என்பதில் ஊடகங்கள் உள்ளன.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Floor function", Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1556080104
• Štefan Porubský, "Integer rounding functions", Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic, retrieved 24 October 2008
• Weisstein, Eric W., "Floor Function", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Ceiling Function", MathWorld.