முழு நாற்கோணம்

கணிதத்தில் முழு நாற்கோணம் (complete quadrangle) என்பது ஒரு தளத்தில் அமைந்த நான்கு புள்ளிகளாலான வடிவவியல் பொருட்களின் தொகுதியாகும். இந்த நான்கு புள்ளிகளில் எந்த மூன்று புள்ளிகளும் ஆறு சோடி புள்ளிகளை இணைக்கக் கிடைக்கும் ஆறு கோடுகளின் மீதோ, ஒரு பொதுக் கோட்டின் மீதோ அமையாது. வீழ்ப்பு வடிவவியல் நோக்கில், ஒரு முழு நாற்கரம் (complete quadrilateral) என்பது நான்கு கோடுகளினாலான ஒரு தொகுதி. இந்த நான்கு கோடுகளில் எந்த மூன்றும் ஒரே புள்ளி வழியாகவோ அல்லது இந்த கோடுகள் வெட்டிக்கொள்ளும் ஆறு புள்ளிகள் வழியாகவோ செல்லாது.

மூலைவிட்டங்கள் தொகு

முழு நாற்கோணத்தின் ஆறு கோடுகளில் ஒவ்வொரு சோடியும் சந்திக்கும் மூன்று புள்ளிகள் அம் முழு நாற்கோணத்தின் "மூலைவிட்டப் புள்ளிகள்" (diagonal points) எனப்படும். இதேபோல முழு நாற்கரத்தின் ஆறு புள்ளிகளில் கோடுகளால் இணைக்கப்படாதவையாக மூன்று சோடிப் புள்ளிகள் இருக்கும். இச்சோடி புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் "மூலைவிட்டங்கள்" எனப்படும்.

யூக்ளீடியப் பண்புகள் தொகு

AC, BD, EF முழு நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள்;அவற்றின் நடுப்புள்ளிகள் முறையே, I, J, K. இவை மூன்றும் ஒரே கோட்டிலமைகின்றன.

யூக்ளீடிய வடிவவியலில் ஒரு முழு நாற்கரத்தின் நான்கு கோடுகளில் எந்த சோடியும் இணைகோடுகளாக இருக்கக் கூடாது. இதனால் ஒவ்வொரு சோடி கோடுகளுக்கும் ஒரு சந்திக்கும் புள்ளி இருக்கும்.

மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகள் ஒரு கோட்டிலமைவதோடு, முழு நாற்கரத்தின் நான்கு கோடுகளையும் தொடுகின்ற கூம்பு வெட்டின் மையப்புள்ளியோடும் ஒரு கோட்டிலமையும் புள்ளிகளாக இருக்கும்.
முழு நாற்கரத்தின் நான்கு கோடுகளில் எந்த மூன்று கோடுகளும் ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்கும்.
- இவ்வாறு உருவாக்கக்கூடிய நான்கு முக்கோணங்களின் செங்கோட்டு மையங்கள், நடுப்புள்ளிகளின் வழியாகச் செல்லும் கோட்டிற்குச் செங்குத்தான கோட்டின் மீதமையும்.
- இந்த நான்கு முக்கோணங்களின் சுற்றுவட்டங்கள் ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கும்.
- மூலைவிட்டங்களை விட்டங்களாகக் கொண்ட வட்டங்கள் ஒரு பொது வட்டக்கற்றையைச் (ஒரே சமதொடுகோட்டு அச்சு கொண்ட வட்டங்கள்) சேர்ந்தவையாக இருக்கும்.^[1] இந்த வட்டக் கற்றையின் அச்சு செங்கோட்டுமையங்களின் வழியாகக் செல்லும் கோடாக இருக்கும்.
- இந் நான்கு முக்கோணங்களின் முனைவு வட்டங்கள் பொது அச்சு வட்டங்களாக (ஒரே சமதொடுகோட்டச்சு கொண்டவை) இருக்கும்.^[2]^{:p. 179}

குறிப்புகள் தொகு

↑ Wells writes incorrectly that the three circles meet in a pair of points, but, as can be seen in Alexander Bogomolny's animation of the same results, the pencil can be hyperbolic instead of elliptic, in which case the circles do not intersect.
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. 1960).

மேற்கோள்கள் தொகு

H. S. M. Coxeter (1987). Projective Geometry, 2nd ed.. Springer-Verlag. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-387-96532-7.
Robin Hartshorne (1967). Foundations of Projective Geometry. W. A. Benjamin. பக். 53–6.
Lachlan, Robert (1893). An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. London, New York: Macmillan and Co.. http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=Lach015. Link from கோர்னெல் பல்கலைக்கழகம் Historical Math Monographs. See in particular tetrastigm, page 85, and tetragram, page 90.
David G. Wells (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin. பக். 35–36. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-14-011813-6. https://archive.org/details/penguindictionar0000well.

வெளியிணைப்புகள் தொகு

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Quadrangle, complete", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
Bogomolny, Alexander. "The Complete Quadrilateral". Cut-the-Knot.
Weisstein, Eric W., "Complete Quadrangle", MathWorld.

[1] Wells writes incorrectly that the three circles meet in a pair of points, but, as can be seen in Alexander Bogomolny's animation of the same results, the pencil can be hyperbolic instead of elliptic, in which case the circles do not intersect.

[Johnson-2] Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. 1960).

[1]

[2]