ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம்

கணிதத்தில் , ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் (பிறகு சீனிவாச இராமானுசன் என்று பெயரிடப்பட்டது) ஆனது பகுப்பாய்வு சார்பின் மெல்லின் உருமாற்றத்திற்கு பகுமுறை விரிவாக்கத்திற்கான ஒரு உத்தியை வழங்குகிறது.

ராமானுசரின் நோட்டு புத்தகத்தில் எழுதப்பட்டு இருந்த ராமானுஜரின் தலையாய தேற்றத்தின் ஒரு பக்கம் .

தேற்றத்தின் முடிவுகள் பின்வருமாறு கூறப்படுகிறது:

சிக்கலான எண் மதிப்புடைய சார்பு $f(x)$-ன் விரிவாக்கமானது

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\phi (k)}{k!}}(-x)^{k}\!$$$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\phi (k)}{k!}}(-x)^{k}\!$$$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\phi (k)}{k!}}(-x)^{k}\!$

எனவே $f(x)$ ${\begin{aligned}f(x)\end{aligned}}$ மெல்லின் உருமாற்றமானது பின்வருமாறு உள்ளது.

$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\phi (-s)$

$$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\phi (-s)\!$$$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\phi (-s)\!$

இங்கு $\Gamma (s)\!$ என்பது காமா சார்பு ஆகும்

இது தொகைகள் மற்றும் முடிவற்ற தொடர்கள் சார்ந்த கணக்கீடுகள் கண்டறிவதற்கு ராமானுசரால் தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்பட்ட சார்பு ஆகும்.

இந்தக் தேற்றத்தின் உயர் பரிமாண பதிப்புகள் குவாண்டம் இயற்பியலில் ( ஃபேய்ன்மேன் விளக்கப்படங்கள் மூலம்) பயன்படுகின்றன.

இதேபோன்ற முடிவுகளை ஜெ.டபிள்யு.எல் கிளாசர் பெற்றார்.

மாற்றுவடிவ சூத்திரம்

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் மாற்று வடிவ சூத்திரம் பின்வருமாறு:

$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}({\lambda (0)-x\lambda (1)+x^{2}\lambda (2)-\cdots })\,dx={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}\lambda (-s)$

மேற்கண்ட சூத்திரத்தில் $\lambda (n)={\frac {\phi (n)}{\Gamma (1+n)}}\!$ என்று பிரதிட்டு காமா சார்பு சமன்பட்டினை பயன்படுத்தி சுருக்கிய பின்பு .

சார்பு $\phi$வளர்நிலைகளை பொறுத்து $0<\operatorname {Re} (s)<1$ என்ற இடைவெளியில் மேற்கண்ட தொகையானது ஒருங்கக்ககூடியது ஆகும்.

நிரூபணம்

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் "உண்மை" அனுமானங்களுக்கு (இருப்பினும் பலவீனமான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளுக்கு இல்லை) கணிதவியலாளர் GH ஹார்டி , தான் விரிவாக்கம் செய்யப்பட்ட எச்ச தேற்றம் மற்றும் நன்கு அறியப்பட்ட மெல்லின் தலைகீழ் தேற்றம் ஆகியவற்றை ஆதாரமாக விளக்கினார்.

பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பயன்பாடுகள்

பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவை $B_{k}(x)\!$ களின் பிறப்பாக்கி சார்பு வருமாறு:

$frac{ze^{xz}}{e^{z}-1}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}(x){\frac {z^{k}}{k!}}$

$${\frac {ze^{xz}}{e^{z}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}(x){\frac {z^{k}}{k!}}\!$$${\frac {ze^{xz}}{e^{z}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}(x){\frac {z^{k}}{k!}}\!$

இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஹர்விட்ஸ் இசீட்டா சார்பின் வடிவில் வழங்கப்படுகின்றன:

$$\zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\!$$$zeta(s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\!$$\zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\!$

$n\geq 1$க்கு $\zeta (1-n,a)=-{\frac {B_{n}(a)}{n}}\!$ என்றவாறு உள்ளது.

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் மற்றும் பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பிறப்பாக்கி சார்பு ஆகியவற்றை பயன்படுத்தும் போது பின்வரும் தொகை வடிவில் இருக்கும்:

$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx=\Gamma (s)\zeta (s,a)\!$

$$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx=\Gamma (s)\zeta (s,a)\!$$$int_{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx=\Gamma (s)\zeta (s,a)\!$

இது $$0<\operatorname {Re} (s)<1\!$$ $0<\operatorname {Re} (s)<1\!$க்கு உண்மையாகும் .

காமா சார்பின் பயன்பாடுகள்

காமா சார்பு பற்றி வீர்சார்ட்-ன் வரையறை

$Gamma(x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}\!$

$$\Gamma (x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}\!$$$\Gamma (x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}\!$

இது $\log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!$ன் விரிவாக்கத்திற்கு சமமானதாகும்

  $\log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!$ 

$\log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!$

$$\log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!$$$\log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!$$log\Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!$

இங்கு$$\zeta (k)\!$$ என்பது ரீமன் இசீட்டா சார்பு ஆகும் .

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் பின்வருமாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

$$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}{\frac {\zeta (2-s)}{2-s}}\!$$$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}{\frac {\zeta (2-s)}{2-s}}\!$

இது $$0<\operatorname {Re} (s)<1\!$$ $0<\operatorname {Re} (s)<1\!$க்கு உண்மையாகும் .உண்மையாகும்

இங்கு $s={\frac {1}{2}}\!$$0<Re(s)<1\!$$s={\frac {1}{2}}\!$ மற்றும் $s={\frac {3}{4}}\!$ $s={\frac {3}{4}}\!$ ன் சிறப்பு வகைகள் வருமாறு

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{5/2}}}\,dx={\frac {2\pi }{3}}\zeta \left({\frac {3}{2}}\right)$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{9/4}}}\,dx={\sqrt {2}}{\frac {4\pi }{5}}\zeta \left({\frac {5}{4}}\right)$

வெளி இணைப்புகள்

• http://mathworld.wolfram.com/RamanujansMasterTheorem.html
• http://arminstraub.com/files/publications/rmt.pdf